Question

4y′′ + 12y′ + 9y = x + e^-3x:
Amigos, estou com dificuldade em equações diferenciais de 2 ordem, estou fazendo uma lista de exercícios relativamente simples, mas tem uma que não estou conseguindo resolver

4y′′ + 12y′ + 9y = x + e^-3x

Answer 1

Pelo método dos coeficientes indeterminados, a solução y(x) é composta por duas partes: y(x) = yh(x) + yp(x)

A primeira é a solução da equação homogênea, enquanto a segunda é a solução particular.

1) Solução Homogênea:

A solução de uma EDO homogênea é obtida zerando a parte que não possui y (e suas derivadas) e a solução pode ser escrita na forma de y = e^(k*x).

4y′′ + 12y′ + 9y = 0

Com y = e^(k*x), derivamos duas vezes para obter y' e y'':

y' = k*e^(k*x);   e   y'' = k²*e^(k*x)

Agora, substituímos na equação homogênea:

4k²*e^(k*x) + 12k*e^(k*x) + 9e^(k*x) = 0.   Simplificando:

4k² + 12k + 9 = 0

Resolvendo a equação quadrática, obtemos k = - 3/2

Agora, vamos utilizar esse resultado para obter yh(x) com base no delta da eq. quadrática:

Δ > 0  =>  yh(x) = c1*e^(k1*x) + c2*e^(k2*x)

Δ = 0  => yh(x) = c1*e^(k*x) + c2*x*e^(kx)

Δ < 0  => yh(x) = e^(a*x) * (c1*cos(bx) + i*sin(bx))  onde a é a parte real da solução e b a parte imaginária.

Nosso caso é Δ = 0. Logo,

yh(x) = c1e^(-3/2*x) + c2*x*e^(-3/2*x)

2) Solução particular

Essa solução é baseada na parte ( x + e^(-3x) ) da equação. A solução particular yp é uma generalização dessa parte:

yp(x) = [Ax + B] + [C*e^(-3x)]

Derive duas vezes para obter y' e y'':

y' = A - 3Ce^(-3x)

y'' = 9Ce^(-3x)

Substituindo na equação inicial:

36Ce^(-3x) + 12A - 36Ce^(-3x) + 9Ax + 9B + 9Ce^(-3x) = x + e^(-3x)

Simplificando:

9Ax + 9Ce^(-3x) + 12A + 9B = x + e^(-3x)

Por inspeção, geramos o sistema:

12A + 9B = 0  => B = -4/27

9C = 1  => C = 1/9

9A = 1  => A = 1/9

Portanto, yp(x) = x/9 + ( e^(-3x) )/9 - 4/27

Por fim, a solução geral:

$y(x) = \frac{x}{9} + \frac{e^{3x}}{9} - \frac{4}{27} + c_1e^{-\frac{3}{2}x} + c_2xe^{-\frac{3}{2}x}$

(obs: C1 e C2 poderiam ser encontrados se o problema tivesse fornecido condições iniciais)

Answer 2

A solução geral da edo $\large\displaystyle\begin{gathered} \tt 4y''+12y'+9y=x+e^{-3x}\end{gathered}$ calculada pelo método dos coeficientes indeterminados é igual a:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt y=C_1\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+C_2\cdot x\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+\frac{e^{-3x}}{9} +\frac{x}{9}-\frac{4}{27}\end{gathered} }$

Desejamos calcular a seguinte E.D.O de 2º ordem não homogenia:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt 4y''+12y'+9y=x+e^{-3x}\end{gathered}$

Para isso, temos que $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt y=yh+yp \end{gathered}$ , ou seja . a solução geral é igual a soma da solução da homogenia com a solução particular. Vamos então encontrar a solução da homogenia:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt 4y''+12y'+9y=0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt 4\lambda^2+12\lambda+9=0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \lambda = \frac{-12\pm \sqrt0}{8} \Rightarrow \boxed{\lambda=-\frac{3}{2}} \end{gathered} }$

E como o delta é nulo, temos multiplicidade 2, logo a solução da homogenia é igual a:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt yh= C_1 \cdot e^{-\frac{3x}{2}} +C_2\cdot x\cdot e^{-\frac{3x}{2}} \end{gathered} }$

Vamos agora calcular a solução particular, mas para isso, vale ressaltar que a soma das particulares é igual a particular, logo:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt y=\underbrace{\tt(4y''+12y'+9y=x)}_{\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt (I)\end{gathered}} +\underbrace{\tt(4y''+12y'+9y=e^{-3x})}_{\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt (II)\end{gathered}} \end{gathered} }$

Com isso, vamos então calcular a particular da eq (I):

• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt y=Ax^2+Bx+C \end{gathered}$
• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt y'=2Ax+B \end{gathered}$
• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt y''=2A \end{gathered}$

Substituindo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 4\cdot (2A)+ 12\cdot(2Ax+B)+9(Ax^2+Bx+C)=x\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 8A+ 24Ax+12B+9Ax^2+9Bx+9C-x=0\end{gathered}$

Colocando em evidencia, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x^2\cdot (9A)+x\cdot(24A+9B-1)+(8A+12B+9C)=0\end{gathered}$

Com isso temos o seguinte sistema:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases} \tt 9A=0\ \ (III)\\ \tt 24A+9B=1\ \ (IV)\\ \tt 8A+12B+9C=0\ \ (V)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\tt 9B=1\ \ (VI)\\ \tt 12B+9C=0\ \ (VII) \end{cases}\end{gathered}$

Resolvendo esse sisteminha, temos que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underline{\boxed{\tt A=0}}\ \ \wedge\ \ \underline{\boxed{\tt B=\frac{1}{9}}} \ \ \wedge\ \ \underline{\boxed{\tt C=-\frac{4}{27} }}\end{gathered} }$

Com isso, temos que a particular da eq (I) é igual a:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt (I):yp=\frac{x}{9} -\frac{4}{27} \end{gathered}$

Vamos agora calcular a particular da eq (II):

• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt y=Ae^{-3x} \end{gathered}$
• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt y'=-3Ae^{-3x} \end{gathered}$
• $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt y''=9Ae^{-3x} \end{gathered}$

Substituindo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \diagup\!\!\!36Ae^{-3x}-\diagup\!\!\!36Ae^{-3x}+9Ae^{-3x}=e^{-3x}\end{gathered}$

Com isso, temos que a particular da eq (II) é igual a:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt (II):yp=\frac{e^{-3x}}{9} \end{gathered} }$

Logo, a solução geral da edo é igual a:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\tt y=C_1\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+C_2\cdot x\cdot e^{-\frac{3x}{2}}+\frac{e^{-3x}}{9} +\frac{x}{9}-\frac{4}{27}}}} \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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