Question

4x ln x dx integral por parte

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{2x^2\ln(x)-x^2+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int 4x\cdot \ln(x)\,dx$

Devemos aplicar a técnica de integração por partes. Lembre-se da fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$.

Então, devemos escolher qual destas funções será $u$ e qual delas será $dv$.

Como critério de escolha para $u$, temos a propriedade LIATE, em que dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Assim, escolhe-se $u=\ln(x)$ e $dv=4x\,dx$.

Diferenciamos ambos os lados da equação em $u$, para encontrarmos o diferencial $du$. Integra-se a equação em $dv$, para encontrarmos a variável $v$.

$u'=(\ln(x))'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow du=\dfrac{dx}{x}\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int 4x\,dx}$

De acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, a integral da derivada de uma função é igual a própria função: $\displaystyle{\int dv=\int\dfrac{dv}{dx}\,dx=v$.

Lembre-se ainda que a integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$ e a integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx =\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int dv=4\cdot\int x\,dx}\\\\\\ v=4\cdot\dfrac{x^2}{2}\Rightarrow v=2x^2$

Substituindo estes elementos na fórmula de integral por partes, teremos:

$\displaystyle{\int 4x\cdot\ln(x)\,dx=\ln(x)\cdot 2x^2-\int 2x^2\cdot\dfrac{dx}{x}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int 4x\cdot\ln(x)\,dx=2x^2\ln(x)-\int 2x\,dx$

Aplique novamente a propriedade da constante e da potência

$\displaystyle{\int 4x\cdot\ln(x)\,dx=2x^2\ln(x)-2\cdot\int x\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int 4x\cdot\ln(x)\,dx=2x^2\ln(x)-2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}+C_1\right)}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e considere $-2C_1=C$

$\displaystyle{\int 4x\cdot\ln(x)\,dx=2x^2\ln(x)-x^2+C}$

Este é o resultado desta integral.