Question

4x^3 - 3x^2 - 2

QUAIS OS PONTOS MAXIMOS E MINIMOS RELATIVOS

Answer 1

Função:

$f_{(x)}=4x^3-3x^2-2$


Primeiro precisamos derivar a função, que resultará em uma equação do segundo grau (duas raízes):

$f'_{(x)}=12x^2-6x\\\\\\ Raizes:\\\\ x(12x-6)=0\\\\ x'=0\ (primeira)\\\\\\ 12x-6=0\\\\ x''=0,5\ (segunda)$


A partir das raízes, vamos encontrar o valor de y, para podermos formar os pontos:

$Para\ x=0:\\\\ f'_{(0)}=4(0)^2-3(0)^2-2\\\\ f_{(0)}=-2\\\\ \boxed{Ponto_{1}=(0\ ;\ -2)}\\\\\\ Para\ x=0,5:\\\\ f_{(0,5)}=4(0,5)^3-3(0,5)^2-2\\\\ f_{(0,5)}=4(0,125)-3(0,25)-2\\\\ f_{(0,5)}=0,5-0,75-2\\\\ f_{(0,5)}=-2,25\\\\ \boxed{Ponto_2=(0,5\ ;\ -2,25)}$


Analisando os valores de y, verificamos que -2,25 é menor que -2, logo:

$Ponto_{(min\ relativo)}=(0,5\ ;\ -2,25)\\\\ Ponto_{(max\ relativo)}=(0\ ;\ -2)$


OBS: Não existe ponto que representa mais infinito ou menos infinito (que são os limites desta função do terceiro grau), logo, não existe máximo e mínimo absoluto.
Diferente de uma parábola formada por uma função do segundo grau, onde existe um valor máximo ou mínimo, que não seja infinito.


Em anexo está o gráfico da função, demonstrando os pontos máximos e mínimos relativos.


Espero ter ajudado.
Bons estudos!