Question

49) Determine o valor do quociente entre os coeficientes de x^4 no desenvolvimento de (x+3)^8 e (x-2)^8.

Answer 1

• O enunciado pergunta qual é o coeficiente dos elementos em x⁴ dos binômios (x + 3)⁸ e (x - 2)⁸, como esses binômios possuem um alto expoente ficaria muito complexo desenvolvê-los, portanto vamos usar o artifício chamados de Termo geral do binômio, tal "fórmula" nos permite calcular termos específicos de um binômio, ele é dado por:

$\boxed{ \sf T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p}}$

Onde:

• "p" representa a posição do elemento a ser descoberto;

• "n" indica o expoente do binômio;

• "a" e "b" indicam o primeiro e o segundo termo do binômio (respectivamente).

Lembrando também que para calcular um número binomial, você deve aplicar a fórmula da combinação simples, portanto para encontrar o número binomial você usará a fórmula:

$\boxed{\sf \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}}$

Sabendo de toda essa teoria, vamos partir para os cálculos:

a) (x + 3)⁸:

Temos os seguintes dados em relação a esse binômio:

$\sf \begin{cases} \sf n = 8 \\ \sf a = x \\ \sf b = 3 \\ \sf p = ? \end{cases}$

Substituindo esses dados na fórmula:

$\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p} \\ \sf T_{p+1} = \binom{8}{p}(x)^{8-p}.(3)^{p}$

A questão quer saber o termo em x⁴, então vamos pegar aquela expressão formada no expoente do termo "x" e igualar a "4", já que esse deve ser o seu expoente, pois assim vamos encontrar o valor de "p".

$\sf 8 -p = 4 \\ \sf - p = 4 - 8 \\ \sf - p = - 4.( - 1) \\ \boxed{ \sf p = 4}$

Substituindo o valor de "p":

$\sf T_{4+1} = \binom{8}{p}(x)^{8-p}.(3)^{p} \\ \\ \sf\sf T_{5} = \binom{8}{4}(x)^{8-4}.(3)^{4} \\ \\ \sf \sf T_{5} = \binom{8}{4}(x)^{4}.(3.3.3.3) \\ \\ \sf \sf T_{5} = \binom{8}{4}x^{4}.81 \\ \\ \sf T_{5} = \frac{8!}{4!(8-4)!}.81x {}^{4} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{8!}{4!4!}.81x {}^{4} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{8.7.6.5. \cancel{4 !}}{4! \cancel{4!}} .81x {}^{4} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{1680}{4.3.2.1} .81x {}^{4} \\ \\ \sf T_{5} = \frac{1680}{24}.81x {}^{4} \\ \\ \sf T_{5} = 70.81.x {}^{4} \\ \\ \boxed{ \sf T_{5} = 5670x {}^{4} }$

b) (x - 2)⁸:

Para resolver essa, basta você seguir os mesmos passos do exercício anterior.

Temos os seguintes dados:

$\sf \begin{cases} \sf a = x \\ \sf b = ( - 2) \\ \sf n = 8 \\ \sf p = ? \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$\sf \sf T_{p+1} = \binom{8}{p}(x)^{8-p}.( - 2)^{p}$

Do mesmo jeito do anterior, a questão pergunta o valor de x⁴, portanto vamos igualar a expressão no expoente de "x" a 4:

$\sf 8 - p = 4 \\ \sf 8 - 4 = p \\ \boxed{\sf p = 4}$

Substituindo o valor de "p":

$\sf T_{4+1} = \binom{8}{4}(x)^{8-4}.( - 2)^{4} \\ \\ \sf \sf T_{5} = \binom{8}{4}(x)^{4}.( - 2)^{4} \\ \\ \sf \sf T_5 = \binom{8}{4}(x)^{4}.16 \\ \\ \sf T_{5} = \frac{8!}{8!(8-4)!}.16x {}^{4}$

Não será preciso calcular aquela expressão binomial, pois já calculamos no item anterior, portanto basta substituir seu valor.

$\sf T_{5} = 70.16x {}^{4} \\ \boxed{ \sf T_{5} = 1120x {}^{4}}$

Para finalizar de fato a questão, você deve calcular o quociente (divisão) dos coeficientes de (x + 3)⁸ por (x - 2)⁸:

$\boxed{\sf \frac{5670}{1120}=5,0625}$

Espero ter ajudado