Question

47 Calcule a soma:
a) dos n primeiros números pares positivos;
b) dos n primeiros números ímpares positivos;
c) dos n primeiros termos da PA (n - 3, n-1, ...).
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Answer 1

Letra a)

Os n primeiros números pares positivos são 2 , 4 , 6 , ... , 2n. Para encontrarmos o valor da soma S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n vamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PA, haja vista que a sequência (2 , 4 , 6 , ... , 2n) é uma PA de primeiro termo a₁ = 2, razão r = 2 e enésimo termo $\tt a_n=2n$. A fórmula é dada por:

$\tt S=\dfrac{n}{2}\cdot (a_1+a_n)=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Substituindo os valores de a₁, r e $\tt a_n$ na fórmula acima, temos:

$\tt S=\dfrac{n}{2}\cdot(2+2n)\\\\\\ \tt S=\dfrac{n(2n+2)}{2}\\\\\\ \tt S=\dfrac{2n(n+1)}{2}\\\\\\ \boxed{\tt S =n(n+1)}$

Também poderíamos ter encontrado o valor da soma S da seguinte forma:

$\tt S=2+4+6+\cdots+2n\\\\\\ \tt S=2\cdot\! \underbrace{\tt \big[1+2+3+\cdots +n\big]}_{n(n+1)/2}\\\\\\ \tt S=\diagup\!\!\!\!2\:\!\:\!\cdot \dfrac{n(n+1)}{\diagup\!\!\!\!2}\\\\\\\ \boxed{\tt S=n(n+1)}$

Letra b)

Analogamente ao item a), os n primeiros números impares positivos são 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 2n – 1. Para encontrarmos o valor da soma S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n – 1 vamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PA (explícita no item a), haja vista que a sequência (1 , 3 , 5 , 7 , ... , 2n – 1) é uma PA de primeiro termo a₁ = 1, razão r = 2 e enésimo termo $\tt a_n=2n-1$. Substituindo os valores de a₁, r e $\tt a_n$ na fórmula, obtemos:

$\tt S=\dfrac{n}{2}\cdot (1+2n-1)\\\\\\ \tt S=\dfrac{n(2n)}{2}\\\\\\ \boxed{\tt S= n^2}$

Letra c)

Primeiro, note que a₁ = n – 3 e r = (n – 1) – (n – 3) = 2, então $\tt a_n$ será igual a:

$\tt a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\\\ \tt a_n=(n-3)+(n-1)\cdot 2\\\\ \tt a_n=n-3+2n-2\\\\ \tt a_n=3n-5$

Vamos agora identificar os termos conhecidos:

$\begin{cases}\tt a_1=n-3\\ \tt a_n=3n-5\end{cases}$

Substituindo estes valores na fórmula dada no início, chegaremos à soma dos n primeiros termos da PA (n – 3 , n – 1 , ... ), que é:

$\tt S=\dfrac{n}{2}\cdot \big[(n-3)+(3n-5)\big]}\\\\\\ \tt S=\dfrac{n(4n-8)}{2}\\\\\\ \tt S=\dfrac{4n(n-2)}{2}\\\\\\ \boxed{\tt S=2n(n-2)}$