Question

46-Determine o conjunto-solução de cada equação:
Log8 (log^2 10=logx)=0
log2 (3-x)=log(3-x)
log2^2 (x+1)-log2 (x+1)=6

Answer 1

•   $\mathrm{\ell og_8}(\mathrm{\ell og^2\,}10+\mathrm{\ell og\,}x)=0$

$\mathrm{\ell og^2\,}10+\mathrm{\ell og\,}x=8^0\\\\ (\mathrm{\ell og\,}10)^2+\mathrm{\ell og\,}x=1\\\\ 1^2+\mathrm{\ell og\,}x=1\\\\ 1+\mathrm{\ell og\,}x=1\\\\ \mathrm{\ell og\,}x=1-1\\\\ \mathrm{\ell og\,}x=0\\\\ x=10^0\\\\ x=1$


Conjunto-solução:  $S=\left\{1\right\}.$

_________

•    $\mathrm{\ell og^2}(3-x)=\mathrm{\ell og}(3-x)$

$\mathrm{\ell og^2}(3-x)=\mathrm{\ell og}(3-x)\\\\ \mathrm{\ell og^2}(3-x)-\mathrm{\ell og}(3-x)=0$


Faça uma mudança de variável:

$\mathrm{\ell og}(3-x)=t$


e a equação fica

$t^2-t=0\\\\ t(t-1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} t=0&~\text{ ou }~&t-1=0\\\\ t=0&~\text{ ou }~&t=1 \end{array}$


Voltando à variável $x,$ devemos ter

$\begin{array}{rcl} \mathrm{\ell og}(3-x)=0&~\text{ ou }~&\mathrm{\ell og}(3-x)=1\\\\ 3-x=10^0&~\text{ ou }~&3-x=10^1\\\\ 3-x=1&~\text{ ou }~&3-x=10\\\\ x=3-1&~\text{ ou }~&x=3-10\\\\ x=2&~\text{ ou }~&x=-7 \end{array}$


Conjunto-solução:   $S=\{-7,\,2\}.$

_________

•    $\mathrm{\ell og_2^2}(x+1)-\mathrm{\ell og_2}(x+1)=6$

Condição de existência (o logaritmando é sempre positivo):

$x+1>0\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x>-1 \end{array}}$


Resolvendo a equação:

$\mathrm{\ell og_2^2}(x+1)-\mathrm{\ell og_2}(x+1)-6=0$


Faça uma mudança de variável:

$\mathrm{\ell og_2}(x+1)=t\\\\ x+1=2^t\\\\ x=2^t-1$


Substituindo, a equação fica

$t^2-t-6=0~~~\Rightarrow~~\left\{ \!\begin{array}{l} a=1\\b=-1\\c=-6 \end{array} \right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)\\\\ \Delta=1+24\\\\ \Delta=25$

$t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ t=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}\\\\\\ t=\dfrac{1\pm 5}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{1-5}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{1+5}{2}\\\\ t=\dfrac{-4}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{6}{2}\\\\ t=-2&~\text{ ou }~&t=3 \end{array}$


Voltando à variável $x,$ devemos ter

$\begin{array}{rcl} x=2^{-2}-1&~\text{ ou }~&x=2^3-1\\\\ x=\dfrac{1}{2^2}-1&~\text{ ou }~&x=8-1\\\\ x=\dfrac{1}{4}-1&~\text{ ou }~&x=7\\\\ x=\dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{4}&~\text{ ou }~&x=7\\\\ x=-\dfrac{3}{4}&~\text{ ou }~&x=7 \end{array}$


Os dois valores encontrados satisfazem à condição de existência. Logo, o conjunto-solução é

$S=\left\{-\,\dfrac{3}{4},\,7\right\}.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)