Question

45. FGV-SP) Considere a função f(x)
$\frac{x - 1}{x + 1}$
e seja f'(x) a sua derivada. Então, o valor de f'(2) é:

a) 0
b)
$\frac{1}{9}$

c)
$\frac{2}{9}$

d)
$\frac{1}{3}$

e)
$\frac{4}{9}$
Se colocar como faz a conta também irá ajudar muito.
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Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x ) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Observe que temos a divisão de duas funções, ou seja, devemos usar a regra do quociente para fazer a derivação. Essa regra é dada por:

$f'(x) = \frac{g'(x).h(x) - g(x).h '(x) }{h {}^{2}(x) }$ Primeiramente vamos nomear as funções que nós possuímos: $g(x)=x-1 \: e \: h(x)=x+1$. Substituindo as funções nos seus devidos locais na regra citada acima:

$f'(x) = \frac{(x - 1)'.(x + 1) - (x - 1).(x + 1)'}{(x + 1) {}^{2} }$

Para derivar essa funções menores que contém funções o sinal ( ' ), basta utilizar a regra da potência: $x^n=n.x^{n-1}$. Aplicando:

$(x - 1)' = (1.x {}^{ 1 - 1} - 0.1x {}^{0 - 1} ) \\ (1 - 0) = 1 \\ \\ (x + 1) = (1.x {}^{ 1 - 1} + 0.1x {}^{0 - 1} ) \\ (1 + 0) = 1$

Substituindo essas informações:

$f'(x) = \frac{1.(x + 1) - (x - 1).1}{(x + 1) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^{2} }$

Pronto, agora é só substituir o valor informado na questão, que é f'(2), ou seja, na derivada devemos substituir o valor de x por 2, então:

$f'(2) = \frac{2}{(2 + 1) {}^{2} } \\ \\ \boxed{f'(2) = \frac{2}{9} }$

Espero ter ajudado