Question

44 - Considere todos os números naturais k de dois algarismos, tals que k é igual ao triplo do produto de seus algarismos. É correto afirmar que a soma desses números k é divisível por a) 17 b) 13 c) 11 d) 7​

Answer 1

$\displaystyle \sf Fa{\c c}amos : \\\\ k =ab \ \ \ \ e\ \ \ \ k = 3\cdot a \cdot b$

k é um número de dois dígitos, então sua forma polinomial, é do tipo :

$\sf k = 10^1\cdot a+b\cdot 10^0 \\\\ k = 10a+b$

Daí :

$\displaystyle \sf 10a+b=3ab\\\\ 3ab-b=10a \\\\ b(3a-1)=10a\\\\ b = \frac{10a}{3a-1}$

Sabemos que k é um número natural, com isso a e b são números inteiros vamos testar os possíveis valores, no caso :

$\sf a=\{1,2,3,...\ ,\ 9\}$

$\sf a = 1 \to \displaystyle b=\frac{10\cdot 1}{3\cdot 1-1} =\frac{10}{2} = 5 \to k= ab = 15 \in \mathbb{Z} \\\\\\ a=2\to b=\frac{10\cdot 2}{3\cdot 2-1}=4\to k=ab=24\in\mathbb{Z}\\\\\\ \left \begin{array}{I} \displaystyle \sf a = 3 \to b=\frac{10\cdot 3}{3\cdot 3-1}=\frac{30}{8} \\.\\.\\.\\ \displaystyle \sf a=9 \to b=\frac{10\cdot 9}{3\cdot 9-1} =\frac{90}{28}\end{array } \right\} \notin\mathbb{Z} \ N{\~AO}\ CONV{\'EM}$

Portanto, temos as possibilidades :

$\sf k = 15 \ e\ k = 24 \\\\ 15 = 3\cdot 1\cdot 5 = 15 \checkmark \\\\ 24=3\cdot 2\cdot 4 = 24 \checkmark \\\\ Soma\ dos \ possiveis\ valores\ de \ k : \\\\ 15+24 = 39 \\\\ 39 = 3\cdot 13$

Logo, a soma dos números k é divisível por 13

(b)