42º) Dois planos α e β são secantes cuja reta comum é r. Dois pontos distintos A e B são tais que B ∈ r, A ∈ α, AB perpendicular a r, AB mede 8 cm e a projeção ortogonal A'B, de AB sobre β, mede 4 cm. Qual é a medida de um ângulo agudo formado por β e β?
Soluções para a tarefa
Bruno,
Inicialmente, creio que o ângulo pedido é o ângulo formado por α e β, os dois planos de projeção, e não por β e β, como consta do enunciado, pois isto não faria sentido.
Os pontos A, B e A' determinam um triângulo retângulo em A', já que A' é a projeção ortogonal do ponto A sobre o plano β e o segmento AB é perpendicular à reta r, interseção dos dois planos. Os lados deste triângulo são:
AB = 8 cm (hipotenusa do triângulo)
A'B = 4 cm (cateto do triângulo)
A medida do ângulo formado pelos planos α e β (Ф) é o ângulo formado pela hipotenusa (AB) e pelo cateto A'B deste triângulo, que é adjacente a este ângulo.
Para obtermos a medida de Ф, devemos lembrar que a função trigonométrica cosseno é igual a:
cos Ф = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos Ф = 4 cm ÷ 8 cm
cos Ф = 0,5
Ф = 60º
R.: O ângulo agudo do ângulo formado pelos planos α e β é igual a 60º.