Question

40 PONTOS!!
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)= f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)= 1, podemos concluir que f(5) é igual a:
gabarito: 5/2

Answer 1

Boa noite Guilherme!

Para f(x + 1) ser f(2), x deve ser 1, pois 1 + 1 = 2. Assim:

f(x + 1) = f(x) + f(1)

f(1 + 1) = f(1) + f(1)

f(2) = 2f(1) → como f(2) = 1:

1 = 2f(1)

f(1) = 1/2

Para f(x + 1) ser f(5), x deve ser 4, já que 4 + 1 = 5. Assim:

f(4 + 1) = f(4) + f(1)

f(5) = f(4) + 1/2

Para descobrir o valor de f(4), será necessário calcular f(3). Logo:

f(2 + 1) = f(2) + f(1)

f(3) = f(2) + f(1)

Substituindo os valores de f(2) e f(1):

$f(3) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Agora, calculando f(4):

f(3 + 1) = f(3) + f(1)

f(4) = f(3) + f(1)

Substituindo fica:

$f(4) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

$f(4) = \frac{4}{2} = 2$

Agora tendo o valor de f(4) podemos resolver f(5):

f(5) = f(4) + 1/2 → MMC = 2

$f(5) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{2.2 + 1}{2}$

$f(5) = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Espero ter ajudado :)