Question

(40 PONTOS) Resolver no conjunto dos números reais a equação

$e^{2z}+e^{z}-6=0$
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Resposta: $z=\mathrm{\ell n\,}2.$

Answer 1

Vamos dizer que:

$\boxed{e^z=x}$

Substituindo, temos que:

$x^2+x-6=0\\\\ \Delta=b^2-4(a)(c)\\\\ \Delta=(1)^2-4(1)(-6)\\\\ \Delta=1+24\\\\ \boxed{\Delta=25}$

$x'=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\\ x''=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

Pela propriedade de exponencial, não tem como e^z dar negativo, por isso, a raiz negativa é descartada. Então, restou que:

$e^z=x\\\\ \boxed{e^z=2}$

Lembrando que a função inversa da exponencial é a logaritmica, então aplicamos ln em ambos os lados para eliminarmos o e.

$e^z=2\\\\ ln\ e^z=ln\ 2\\\\ z\ ln\ e=ln\ 2\\\\ z*1=ln\ 2\\\\ \boxed{\boxed{z=ln\ 2}}$

Answer 2

$\sf{e^{2z}+e^z-6=0}\\\sf{\Delta=1+24=25}\\\sf{e^{z}=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2}\\\sf{e^z=2}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{z=\ell n(2)}}}}}$