Question

40 PONTOS. Questão de geometria.
POR FAVOR, COLOQUEM EXPLICAÇÃO! obrigado! =D
Uma reta r passa pelo centro de uma circunferência de raio de 2 cm, que tangencia a reta s em Q, conforme mostra a figura.

A medida α do ângulo agudo formado por r e s é tal que cos α = 15/17.
Calcule a medida do segmento PQ.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Como Q é ponto de tangência, o ângulo $\sf O\hat{Q}P$ é reto, e o triângulo OPQ é retângulo

$\sf cos~\alpha=\dfrac{cateto~adjacente}{hipotenusa}$

$\sf \dfrac{15}{17}=\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{OP}}$

Seja PQ = x

$\sf \dfrac{15}{17}=\dfrac{x}{\overline{OP}}$

$\sf 17x=15\cdot\overline{OP}$

$\sf \overline{OP}=\dfrac{17x}{15}$

Seja S (ponto do segmento OP), ponto de interseção da reta r e a circunferência

Temos:

$\sf (\overline{PQ})^2=\overline{OP}\cdot\overline{PS}$

$\sf x^2=\dfrac{17x}{15}\cdot\Big(\dfrac{17x}{15}-2\Big)$

$\sf 15x^2=17x\cdot\Big(\dfrac{17x}{15}-2\Big)$

$\sf 15x^2=17x\cdot\Big(\dfrac{17x-30}{15}\Big)$

$\sf 15x^2=\dfrac{289x^2-510x}{15}$

$\sf 15\cdot15x^2=289x^2-510x$

$\sf 225x^2=289x^2-510x$

$\sf 289x^2-225x^2-510x=0$

$\sf 64x^2-510x=0$

$\sf 2x\cdot(32x-255)=0$

• $\sf 2x=0$

$\sf x=\dfrac{0}{2}$

$\sf \red{x'=0}$ (não serve)

• $\sf 32x-255=0$

$\sf 32x=255$

$\sf x=\dfrac{255}{32}$

$\sf \red{x"=7,96875~cm}$