Question

40 PONTOS

Podemos dizer que a soma dos infinito termos da série dada por ∑ $( \frac{2}{3} ) ^n$

a)2
b)5
c)zero
d)1

Answer 1

A soma da série geométrica

$S=\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{a^{n}}$

só converge quando $-1<a<1.$ E o valor é


$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{a^{n}}=\dfrac{a}{1-a},\;\;\;\;-1<a<1$


Para este somatório, temos

$a=\dfrac{2}{3}$


e $-1<\dfrac{2}{3}<1$


Logo, a série converge.

$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{\left(\dfrac{2}{3} \right )^{n}}=\dfrac{(\frac{2}{3})}{1-\frac{2}{3}}\\ \\ \\ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{\left(\dfrac{2}{3} \right )^{n}}=\dfrac{(\frac{2}{3})}{\frac{3-2}{3}}\\ \\ \\ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{\left(\dfrac{2}{3} \right )^{n}}=\dfrac{(\frac{2}{3})}{(\frac{1}{3})}\\ \\ \\ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{\left(\dfrac{2}{3} \right )^{n}}=\dfrac{2}{\diagup\!\!\!\! 3}\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\! 3}{1}\\ \\ \\ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,{\left(\dfrac{2}{3} \right )^{n}}=2$