Question

(40 PONTOS) Integral indefinida:
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Como calcular, sem recorrer às funções hiperbólicas?
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$\displaystyle\int\!\sqrt{1+e^{2x}}\,dx$
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Answer 1

Olá!

 Acho que consegui, mas a resolução fora um tanto quanto trabalhosa!!

 Segue:

- Substituição simples! Considere $2x = \alpha$, então $dx = \frac{1}{2} \ d\alpha$.

$\\ \int \sqrt{1 + e^{\alpha}} \cdot \frac{d\alpha}{2} = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \int (1 + e^{\alpha})^{\frac{1}{2}} \ d\alpha$

- Substituição simples! Considere $1 + e^{\alpha} = \beta$, então $e^{\alpha} \ d\alpha = d\beta$.

$\\ \frac{1}{2} \cdot \int (1 + e^{\alpha})^{\frac{1}{2}} \ d\alpha = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \int \beta^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d\beta}{e^{\alpha}} = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\beta^{\frac{1}{2}}}{\beta - 1} \ d\beta =$

- Substituição simples! Considere agora $\beta^{\frac{1}{2}} = \gamma$, então $d\beta = 2\gamma \ d\gamma$.

$\\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\beta^{\frac{1}{2}}}{\beta - 1} \ d\beta = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\gamma}{\gamma^2 - 1} \cdot 2\gamma \ d\gamma = \\\\\\ \int \frac{\gamma^2}{\gamma^2 - 1} \ d\gamma =$

- Frações parciais! Feito algumas contas tiramos que $\frac{\gamma^2}{\gamma^2 - 1} = \frac{\gamma}{2(\gamma + 1)} + \frac{\gamma}{2(\gamma - 1)}$.

$\\ \int \frac{\gamma}{2(\gamma + 1)} + \frac{\gamma}{2(\gamma - 1)} \ d\gamma = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \int \left ( \frac{\gamma}{\gamma + 1} + \frac{\gamma}{\gamma - 1} \right ) \ d\gamma =$

 Façamos uma última substituição simples! Considere $\gamma + 1 = \delta$ e $\gamma - 1 = \mu$, com isso teremos, respectivamente, $d\gamma = d\delta$ e $d\gamma = d\mu$.

$\\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\gamma}{\gamma + 1} \ d\gamma + \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\gamma}{\gamma - 1} \ d\gamma = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\delta - 1}{\delta} \ d\delta + \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\mu + 1}{\mu} \ d\mu = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \left [ \int \left ( 1 - \frac{1}{\delta} \right ) \ d\delta + \int \left ( 1 + \frac{1}{\mu} \right ) \ d\mu \right ] = \\\\\\ \frac{1}{2} \cdot \left ( \delta - \ln |\delta| + \mu + \ln |\mu| \right ) + c$

  Lukyo, finalmente, para concluir devemos substituir todas as variáveis novamente até chegarmos à variável inicial "x".

 Pude concluir que a resposta final é $\boxed{\sqrt{1 + e^{2x}} - \frac{1}{2} \cdot \ln (\sqrt{1 + e^{2x}} + 1) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\sqrt{1 + e^{2x}} - 1) + c}$.

 Se perceber algum erro, sinalize!!

 Até!