Question

(40 PONTOS) Considere $A,$ $B$ e $k$ constantes reais, com $A$ e $B$ não ambos nulos (isto é, desconsidere o caso em que $A=B=0$).

Mostre que a equação

$A\cos (x)+B\,\mathrm{sen}(x)=k$

só admite solução real para $x,$ se

$|k|\leq \sqrt{A^{2}+B^{2}}.$

Answer 1

Primeiro vc tem que desenhar um triângulo retângulo. Um dos ângulos chama de Ɵ. Um dos catetos oposto a Ɵ chama A e o outro de B. Observe que a hipotenusa desse triângulo é√(A²+B²)
senƟ=A/√(A²+B²)
A = √(A²+B²)senƟ

cosƟ=B/√(A²+B²)
B = √(A²+B²)cosƟ, agora substitui na sua equação.

Acosx+Bsenx = k
√(A²+B²)senƟ.cosx + √(A²+B²)cosƟsenx = k, coloca √(A²+B²) em evidência.
√(A²+B²)(senƟ.cosx + cosƟsenx) = k
√(A²+B²)(senƟ+x) = k
sen(Ɵ+x) = k/√(A²+B²)

sen²(Ɵ+x) + cos²(Ɵ+x) = 1
cos²(Ɵ+x) = 1-sen²(Ɵ+x)
cos²(Ɵ+x) = 1-k²/(A²+B²)
cos²(Ɵ+x) = [(A²+B²)-k²]/(A²+B²)
......................_________________..
cos(Ɵ+x) = √[(A²+B²)-k²]/(A²+B²)
como o denominador já é sempre positivo, precisando dar atenção somente o numerador, que deve ser maior ou igual a zero.
(A²+B²)-k²≥0
-k²≥ -(A²+B²)
k²≤ (A²+B²)
......._______
|k|≤ √(A²+B²)

Tudo isto que foi feito não serve só para essa demonstração que vc pediu, mas também serve para encontrar o máximo e o mínimo de funções como y = 3senx + 4cosx, que não é tão simples encontrar máximo e mínimo dessas funções usando alguns métodos convencionais. Aliás questão envolvendo isto só cai no ITA e no IME.
espero ter ajudado e espero também que ninguém apague minha resposta, como fizeram de outra vez.