Question

4°) O conjugado do número complexo -3i é o número:
b) 3i
a) 1-31
d) 3
c) 1+3i
e) i
5) O triângulo formado pelos números complexos 3 +7i, 3 - 4i e -3i no plano de Argand-Gauss
tem área igual a:
d) 4,5 u.a.
c).4,0 u.a
e) 4,8 u.a.
a) 3,5 u.a.
b) 3,8 u.a.​

Answer 1

Resposta:

4 ) " 3i " logo letra b)

5 ) Área do triângulo = 1/2 * | - 33 | = 33/2 = 16,5 u. a.

ou

Área do triângulo = 1/2 * | 9 | = 9 / 2 = 4,5    d)

Explicação passo a passo:

Os números complexos assumem algebricamente a forma

z = a + bi onde "a" é a parte real e bi a parte imaginária.

Observação 1 → Conjugado de um número complexo

Apenas tem que se trocar o sinal da parte imaginária

Exemplo:

conjugado de z = 2 - 5i     é  2 + 5i

4) Conjugado de "- 3i"

Este número complexo tem na mesma as duas partes. A "real" e a "imaginária"

A forma completa de o escrever é :

0 - 3i

Onde a parte real é iguala a zero.

Como no conjugado só muda a p"- 3i " é " 3i " logo letra b)

5)

Esboço   do plano Argand -Gauss

                                         Im(z)

                                             ↑

                                              |

                                              |

                                      3      |-----X  1 + 3i

                                              |       |  

                                              |       |

                                              |       |

                --------------------------|------|------------------------→ Re(z)

                                               |      1

                                               |                              

                                               |

                                               |

Como pode ver o formato do Plano Argand- Gauss é extremamente

parecido com plano Cartesiano.

Por isso calcular a área do triângulo cujos vértices sejam os indicados,

resulta de modo semelhante ao calcular a área de um triângulo com

coordenadas (3 ; 7 ) ; ( 3 ; - 4 ) ; ( 0 ;- 3 ).

Assim vamos construir uma matriz quadrada de 3 * 3.

$Area = \frac{1}{2}*|D|$

Em palavras:

Área é igual a metade do módulo do valor do Determinante da matriz feita à

custa dos coeficientes da parte real e da parte imaginária.

$\left[\begin{array}{ccc}3&7&1\\3&-4&1\\0&-3&1\end{array}\right]$

Usando o M´todo de Sarrus, vamos repetir à direita da matriz, as duas primeiras colunas

 3     7     1  |   3     7

 3   - 4    1  |   3   - 4

 0   - 3     1  |   0   - 3

Calculando o Determinante

 3      º     º  |   º     º

 º   - 4     º  |   º     º

 º       º     1 |   º     º

D = ( 3 * ( - 4  ) * 1 ) +  ...

 º      7    º  |   º     º

 º      º     1   |   º     º

 º       º    º   |   0     º

D = ( 3 * ( - 4  ) * 1 ) +  ( 7 * 1 * 0 ) +

 º      º    1   |   º     º

 º      º     º   |   3     º

 º       º    º   |   º   - 3

D = ( 3 * ( - 4  ) * 1 ) +  ( 7 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 3 )) -  ...

º      º    1    |   º     º

 º   - 4     º   |   º     º

 0     º    º   |   º     º

D = ( 3 * ( - 4  ) * 1 ) +  ( 7 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 3 )) -  ( 1 * (- 4 ) * 0 - ...

 º      º    º    |   3     º

 º      º     1     |   º     º

 0   - 3    º     |   º     º

D = ( 3 * ( - 4  ) * 1 ) +  ( 7 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 3 )) -  ( 1 * (- 4 ) * 0)  -

- ( 3 * 1 * ( - 3) ) - ...

 º      º    º    |   º     7

 º      º     º   |   3     º

 º      º     1   |   º     º

D = ( 3 * ( - 4  ) * 1 ) +  ( 7 * 1 * 0 ) + ( 1 * 3 * ( - 3 )) -  ( 1 * (- 4 ) * 0)  -

- ( 3 * 1 * ( - 3) ) - ( 7 * 3 * 1 )

D = - 12 + 0  - 9  - 0 + 9 - 21 = - 12 - 21 = - 33

Área do triângulo = 1/2 * | - 33 | = 33/2 = 16,5 u. a.

Como se pode ver não está em nenhum dos gabaritos.

Mas , se 0 2º número complexo for 3 + 4i

$\left[\begin{array}{ccc}3&7&1\\3&4&1\\0&-3&1\end{array}\right]$

O Determinante viria igual a 9.

Área do triângulo = 1/2 * | 9 | = 9 / 2 = 4,5    d)

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Estudo a título, de exemplo,  de potências de " i "

$i = \sqrt{-1}$

$i^2 = \sqrt{-1} *\sqrt{-1} = ( \sqrt{-1}) ^{2} = - 1$

$i^{3} = i^{2}*i=-1*i=-i$

$i^4=i^{2} * i^{2} = - 1 * (- 1 ) = 1$

$i^{5} = i^4*i=1*i= i$

$i^{6} = - 1$

$i^{7} = -i$

$i^{8}=1$

$i^{9}=i$

$i^{10} =-1$

$i^{11} =-i$

$i^{12} =1$

$i+i^{3} +i^{5} +i^{7} +i^{9}= i-i+i-i+i=i$

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação     ( / )  divisão     ( |   | )  módulo de

( o módulo de um qualquer número Real representa a distância à origem de um número real

Exemplos :  

| 5 | = 5               | - 7 | = 7           | 1,27 | = 1,27

Im(z) = parte imaginária de um número complexo

Re(z) = parte real de um número complexo