Question

4° Na figura abaixo o ponto E é colinear aos pontos AB e CD.

Sabendo desta informação quais são as coordenadas de E?

Answer 1

O ponto E é colinear aos ponto A e B, ou seja, ele está na mesma reta que esses pontos.

O ponto E é colinear aos pontos C e D, ou seja, ele está na mesma reta que esses pontos.

Vamos achar a reta AB e a reta CD e achar uma relação para a coordenada E(x,y) :

Reta AB : A( -3, -1 ) e B ( 7, 4)

$\text y -\text y_o = \text m.(\text x-\text x_o)$

$\displaystyle \text m = \frac{4-(-1)}{7-(-3)} \to \text m = \frac{5}{10} \to \text m = \frac{1}{2}$

substituindo o ponto B na equação da reta :

$\displaystyle \text y- 4 =\frac{1}{2}(\text x-7) \\\\ 2\text y-8 = \text x - 7 \\\\ 2\text y =\text x -7 + 8 \\\\ \text{reta AB : }\text y = \frac{\text x}{2}+ \frac{1}{2}$

Reta CD : C (2, 6) e D(4,-2)

$\displaystyle \text m=\frac{-2-6}{4-2}\to \text m = \frac{-8}{2} \to \text m =-4$

substituindo o ponto C na equação da reta :

$\text y - 6=-4(\text x-2) \\\\ \text y = -4\text x + 8 +6 \\\\ \text{reta CD : } \text y = -4\text x+ 14$

Se o ponto E pertence às duas retas, então as coordenadas de E é comum aos dois, então vamos igualar as retas :

$\displaystyle \text{reta AB = reta CD} \\\\ \frac{\text x}{2}+\frac{1}{2} = -4\text x+14 \\\\ \text x + 1 = -8\text x+28 \\\\ 9\text x = 27 \\\\ \boxed{\text x = 3 }$

substituindo em qualquer uma das retas :

$\displaystyle \text y = \frac{3}{2}+\frac{1}{2} \\\\ \boxed{\text y = 2}$

Portanto :

$\huge\boxed{\text{E (3, 2) } }\checkmark$