Matemática, perguntado por florchinelo, 8 meses atrás

4° )Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:

a) (-1,-2)e (5,2)

b) (2, -1) e (-3,2)

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Nesta questão de geometria analítica, o objetivo é determinar a equação geral da reta que passa por dois pontos

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É sabido que uma equação geral da reta se situa na forma:

$\boxed{\boxed{\large\begin{array}{l}\\\quad\boldsymbol{\sf ax+by+c=0}\quad\\\\\end{array}}}$

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Uma das formas de encontrar essa equação, é pelo determinante de uma matriz 3x3 formada a partir dos pontos, veja:

$\begin{array}{l}\begin{vmatrix}\sf x&\sf y&\sf1\\\sf x_1&\sf y_1&\sf1\\\sf x_2&\sf y_2&\sf1\end{vmatrix}=0\end{array}$

Observe que nesta matriz, na primeira linha temos (x , y) [um ponto desconhecido], e nas próximas duas linhas temos os pontos (x₁ , y₁) e (x₂ , y₂)
Perceba que, para a matriz ser 3x3, a terceria coluna foi completada com números um
E tambem toda a matriz foi igualada a zero

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Após a obtenção da matriz, devemos calcular o determinante aplicando a Regra de Sarrus: repitir as duas colunas iniciais ao lado da matriz, somar o produto de uma diagonal (principal), e subtrair da soma do produto de outra diagonal (secundária)

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A) (–1 , –2) e (5 , 2)

Assim:

$\begin{array}{l}\\\begin{vmatrix}\sf x&\sf y&\sf1\\ \sf -1 \: \: \: &\sf -2 \: \: \: &\sf1\\\sf 5&\sf 2&\sf1\end{vmatrix}=0\\\\ \begin{vmatrix}\sf x&\sf y&\sf1\\\sf -1 \: \: \: &\sf -2 \: \: \: &\sf1\\\sf 5&\sf 2&\sf1\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf x&\sf y\\\sf -1 \: \: \: &\sf -2 \: \: \: \\\sf 5&\sf 2\end{matrix}=0\\\\ \sf x.( - 2).1 + y.1.5 + 1.( - 1).2 - [1.( - 2).5 + x.1.2 + y.( - 1).1]=0\\\\ \sf -2x+5y-2-[-10+2x-y]=0\\\\\sf -2x+5y-2+10-2x+y=0\\\\\sf (-2-2)x+(5+1)y+(-2+10)=0\\\\\!\boxed{\sf -4x+6y+8=0}\end{array}$

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Resp.: Eq. geral da reta: – 4x + 6y + 8 = 0

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B) (2 , –1) e (–3 , 2)

Assim:

$\begin{array}{l}\\\begin{vmatrix}\sf x&\sf y&\sf1\\ \sf 2&\sf -1 \: \: \: &\sf1\\\sf -3\:\:\:&\sf 2&\sf1\end{vmatrix}=0\\\\ \begin{vmatrix}\sf x&\sf y&\sf1\\\sf 2 &\sf -1 \: \: \: &\sf1\\\sf -3\:\:\:&\sf 2&\sf1\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf x&\sf y\\\sf 2 &\sf -1 \: \: \: \\\sf -3\:\:\:&\sf 2\end{matrix}=0\\\\ \sf x.( - 1).1 + y.1.( - 3) + 1.2.2 - [1.( - 1).( - 3) + x.1.2 + y.2.1]=0\\\\\sf -x-3y+4-[3+2x+2y]=0\\\\\sf -x-3y+4-3-2x-2y=0\\\\\sf (-1-2)x+(-3-2)y+(4-3)=0 \\\\\!\boxed{\sf -3x-5y+1=0}\end{array}$