Question

40 (CESGRANRIO - 2010) O valor de f(√2x + 1)dx é:

segue foto anexa​

Answer 1

Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = 234 } }$

Se $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ for contínua em $\boldsymbol{ \textstyle \sf [a,b] }$ , ou $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ tiver apenas um número finito de descontinuidades de saltos, então $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$ é integrável em $\boldsymbol{ \textstyle \sf [a,b] }$; ou seja, a integral definida  $\boldsymbol{ \textstyle \sf \int_a^b \: f(x) \: dx }$  existe.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \int_a^b f(x)\: dx = F(x) \left |_{x =a}^{x =b} \right. = F(b) - F(a) } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx } }$

Aplicar integração por substituição:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf u = 2x +1 \Rightarrow \dfrac{du}{dx} = 2 \\ \\\sf dx = \dfrac{1}{2} \: du \end{cases} } }$

Fazendo, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 4 \Rightarrow u = 2 \cdot 4 + 1 = 9 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x = 40 \Rightarrow u = 2 \cdot 40 + 1 = 81 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{1}{2} \int_9^{81} \sqrt{u} \: du } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{1}{2} \int_9^{81} u^{1/2} \: du } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{1}{2} \cdot \left [\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_9^{81} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{1}{2} \cdot \left [\frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_9^{81} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{1}{ \backslash\!\!\!{2}} \cdot \dfrac{ \backslash\!\!\!{ 2}}{3} \cdot \left [u^{3/2} \right]_9^{81} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 1}{3} \cdot\left [81^{3/2} - 9^{3/2}\right] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 1}{3} \cdot \left [ (3^4)^{3/2} - (3^2)^{3/2}\right] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 1}{3} \cdot \left [ 3^{12/2} - 3^{6/2}\right] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 1}{3} \cdot \left [ 3^{6} - 3^{3}\right] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 1}{3} \cdot \left [ 729 - 27\right] } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 1}{3} \cdot702 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = \dfrac{ 702}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int_ 4^{40} (\sqrt{2x +1})\: dx = 234 }$

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