Question

4^x + 6^x = 2 . 9^x (÷9^x) . Determine o valor de X.

Answer 1

Vejamos:

4^x + 6^x = 2 . 9^x
                  --------------
                      9^x

4^x + 6 ^x =  2 . 9^(x - x)
4^x + 6^x  =  2 . 9^(0)
4^x + 6^x  =  2  . 1
4^x + 6^x  =  2
4^0 + 6^0  = 2
1     +   1   = 2

Logo, x vale 0.

S= {0}

Answer 2

Vamos lá.

Bem, como afirmei nos comentários da resposta da Karine, vou considerar que toda a expressão esteja dividida por 9^(x). Nesse caso, teremos isto:

(4ˣ+ 6ˣ)/9ˣ = 2*9ˣ/9ˣ ----- note que, no 2º membro, quando dividirmos 9ˣ do numerador com 9ˣ do denominador, iremos ficar apenas com:

(4ˣ + 6ˣ)/9ˣ = 2 ----- agora veja que o 1º membro vai ficar assim:

4ˣ/9ˣ + 6ˣ/9ˣ = 2 ----- note que 4 = 2²;  9 = 3²; e 6 = 2*3 . Assim, ficaremos com:

(2²/3²)ˣ + (2*3)ˣ/(3²)ˣ = 2 --- ou ainda:
[(2/3)²]ˣ + 2ˣ*3ˣ/3²ˣ = 2 ----- note que em 2ˣ*3ˣ/3²ˣ , temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então ficaremos com:

[(2/3)²]ˣ + 2ˣ*3ˣ⁻²ˣ = 2 ----- como 3ˣ⁻²ˣ = 3⁻ˣ , ficaremos assim:
[(2/3)²]ˣ + 2ˣ*3⁻ˣ = 2 ----- note que: 3⁻ˣ é a mesma coisa que 1/3ˣ . Então ficaremos com:

[(2/3)²]ˣ + 2ˣ*1/3ˣ = 2 --- ou, o que é a mesma coisa:
[(2/3)²]ˣ + 2ˣ/3ˣ = 2 ---- note que 2ˣ/3ˣ é a mesma coisa que: (2/3)ˣ. Logo:
[(2/3)²]ˣ + (2/3)ˣ = 2 --- finalmente veja que [(2/3)²]ˣ = (2/3)²*ˣ = (2/3)²ˣ. Logo:
(2/3)²ˣ + (2/3)ˣ = 2 ---- passando o "2" para o 1º membro, teremos:
(2/3)²ˣ + (2/3)ˣ - 2 = 0 ---- vamos fazer (2/3)ˣ = k. Com isso, ficaremos assim:
k² + k - 2 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

k' = -2
k'' = 1

Mas note que fizemos (2/3)ˣ = k. Então:

i) Para k = -2, teremos:

(2/3)ˣ = - 2 <---- impossível. Não existe nenhuma base positiva que, elevada a qualquer que seja o expoente, dê resultado negativo. Logo, descaremos a raiz k = - 2.

ii) para k = 1, teremos:

(2/3)ˣ = 1 ---- note que o "1" poderá ser substituído por (2/3)⁰, pois todo número diferente de zero, quando elevado a zero, é igual a "1". Assim:

(2/3)ˣ = (2/3)⁰ ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os expoentes. Logo:

x = 0 <---- Pronto. Esta é a resposta. Note que, como afirmamos antes, por incrível que pudesse parecer, a resposta também é x = 0, dando exatamente igual à resposta que a Karine havia dado, considerando a  versão anterior.

É isso aí.
Agora deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.