Question

4. Verifique que 32022 – 1 é múltiplo de 7. [Sugestão: congruência módulo 7.] 4. Verifique que 32022 – 1 é múltiplo de 7 . [ Sugestão : congruência módulo 7. ]​

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o número 3²⁰²² - 1 é múltiplo de 7.

Os múltiplos de um número são o resultado da multiplicação do número natural por outro número natural, portanto, um número é múltiplo de outro se o contiver um número inteiro de vezes. Os múltiplos de um número natural são infinitos, matematicamente podemos representá-lo como: o múltiplo do número é igual ao número principal vezes qualquer número natural.

Para identificar se um número é múltiplo de outro, a alternativa mais simples é realizar uma divisão entre os dois números, verificando se o quociente é um número inteiro (isso significa que não há vírgula) e o resto ou resto da divisão é 0, tendo a divisão com as características acima podemos concluir que o número é um múltiplo do outro.

Isso significa que para o número 3²⁰²² - 1 ser um múltiplo de 7, devemos obter um resto 0. Mas se podemos ver o número 3²⁰²² - 1 é muito difícil saber que número é, pois é um número elevado a um expoente bastante longo, então para encontrar o resto da divisão vamos aplicar a aritmética modular e a congruência de números.

Congruência é um termo usado na teoria dos números para designar que dois inteiros ${\displaystyle a\,\textstyle {\text{e}}\displaystyle \,b}{\displaystyle a\,\textstyle {\text{e }}\displaystyle \,b}$ tem o mesmo resto quando dividido por um número natural ${\displaystyle m\,\neq \,0}$, chamado módulo; isso é expresso usando a notação:

$a \equiv b ~(\rm{mod}~m)$

Isso é expresso dizendo que:${\displaystyle a\,}$ é congruente com ${\displaystyle b\,}$ modulo ${\displaystyle m\,}$. Daí é definido que dois números a e ab e b são congruentes no módulo ${\displaystyle m\,\neq \,0}$:

• Nossa congruência será escrita como:

$3^{2022}-1\equiv 3^{2022}-1~(\rm{mod} ~7)$ (i)

Para resolver essa congruência, primeiro vamos encontrar o resto do número $2^{2022}$ entre o número 7, mas primeiro devemos saber que o expoente 2022 pode ser escrito como:

$2022= 7\cdot 288+6$

• Assim, descrevendo o expoente como:

$3^{2022}=3^{2\cdot 1011}= (3^2)^{1011}$

Então, se encontrarmos o resto de $3^{2022}$ com a ajuda da outra expressão, podemos concluir que:

$3^{2022}\equiv (3^2)^{1011}~(\rm{mod}~7)$

Primeiro vamos encontrar o resto da divisão do número $3^2$ pelo número 7:

$\Longrightarrow ~3^2~(\rm{mod}~7)\\\\ ~\Longleftrightarrow~ 9(\rm{mod}~7 )= 7\cdot 1 + 2\\\\ \Longleftrightarrow ~3^2\equiv 2(\rm{mod}~7)$

Substituindo o valor restante em nossa expressão anterior, obteremos:

$\Longrightarrow ~3^{2022}\equiv (2)^{1011}~(\rm{mod}~7)\\\\ \Longleftrightarrow ~ 3^{2022}\equiv (2^3)^{337}~(\rm{mod}~7) \\\\ \Longleftrightarrow ~3^{2022}\equiv (8)^{337}~(\rm{mod}~7)$

• Encontrando o resto do número 8 por 7:

$8~(\rm{mod}~7)= 7\cdot 1 + 1$

Então podemos concluir que o resto da divisão é igual:

$\Longrightarrow ~3^{2022}\equiv (1)^{337}~(\rm{mod}~7)\\\\ \Longleftrightarrow ~3^{2022}\equiv 1~(\rm{mod}~7)$

Então aplicando o resultado obtido à expressão (i) verifica-se que:

$\Longrightarrow ~3^{2022}-1\equiv 3^{2022}-1~(\rm{mod} ~7)\\\\ \Longleftrightarrow ~3^{2022}-1\equiv 1 -1~(\rm{mod}~ 7)\\\\ \Longleftrightarrow ~ 3^{2022}-1\equiv 0~(\rm{mod}~ 7)$

Podemos ver que o resto desta divisão é igual a 0.

Conclusão: Feitos os cálculos, concluímos que o número 3²⁰²² - 1 é divisível por 7, pois deixa 0 como resto e isso significa que 3²⁰²² - 1 é múltiplo de 7.

Bons estudos e espero que te ajude :)

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