Question

4 - Uma PG crescente possui três termos, a soma destes termos vale 13 e o produto entre eles vale 27. Quais são os três termos dessa PG? * 1 ponto ( 1 , 3 , 6) ( 2 , 4 , 6) ( 3/2 , 3 , 6) ( 1/2 , 3 , 6) ( 2 , 6 , 18).

Answer 1

Olá, boa noite.

Seja a seguinte sequência $(x,~y,~z)$ em progressão geométrica. Sabendo que $\begin{cases}x+y+z=13\\x\cdot y\cdot z=27\\\end{cases}$, devemos determinar quais são os termos desta sequência.

Primeiro, lembre-se que o termo geral da progressão pode ser calculado pela fórmula: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Com isso, temos que $y=x\cdot q$ e $z=x\cdot q^2$.

Substituindo estes resultados na segunda equação, teremos:

$x\cdot x\cdot q\cdot x\cdot q^2=27$

Multiplique os termos

$x^3\cdot q^3=27$

Reescreva  o produto de potências como a potência do produto: $x^3\cdot q^3=(x\cdot q)^3$

$(x\cdot q)^3=27$

Calcule a raiz cúbica em ambos os lados da igualdade

$x\cdot q =3$

Então, perceba que calculamos o valor de $y$.

Substituindo este resultado na primeira equação e fazendo $z=y\cdot q$, temos:

$x+3+3\cdot q=13$

Subtraia $3+3q$ em ambos os lados da igualdade

$x=10-3q$

Multiplique ambos os lados da igualdade por $q$ e substitua $x\cdot q = y = 3$

$x\cdot q = (10-3q)\cdot q\\\\\\ 3=10q-3q^2$

Resolvendo esta equação quadrática, encontramos as soluções:

$q=-\dfrac{1}{3}~~\bold{ou}~~ q=3$

Porém, como sabemos que a progressão é crescente, assumimos somente a solução positiva:

$q=3$

Facilmente, podemos encontrar os valores de $x$ e $z$, fazendo:

$y=x\cdot q\\\\\\ 3 = x\cdot 3\\\\\\ \boxed{x=1}\\\\\\ z=y\cdot q\\\\\\ z=3\cdot 3\\\\\\ \boxed{z=9}$

Estes são os três termos da sequência que buscávamos: $(1,~3,~9)$.