Question

4.Uma função tem derivada em cada ponto x dada por y'=X^2+1 Determine a equaçao
dessa curva sabendo que ela contem o ponto (1, 4).

5. Determine a função y = f (x) sabendo que f'''(x) = 6, f''(0) = −8, f'(0) = 0 e f (0) = 5

Answer 1

Olá

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4)

No primeiro exercício, temos que calcular a primitiva, e em seguida, substituir pelos pontos dados para encontrar o valor da constante C.

$\displaystyle y'=x^2+1 \\ \\ \\ \int x^2+1~dx \\ \\ \text{divide em duas integrais} \\\\ \int x^2dx~+~\int dx \\ \\ \\ \text{Agora integra pela regra }\int x^pdx= \frac{x^{p+1}}{p+1} \\ \\ \\ = \frac{x^3}{3} ~+~x~+~C \\ \\ \\ y= \frac{x^3}{3} +x+C \\ \\ \\ \text{Substitui no ponto dado} \\ (1,4) \\ \\ 4= \frac{1^3}{1} +1+C \\ \\ C=4-2 \\ C=2 \\ \\ \text{Nossa funcao fica sendo} \\ \\ \boxed{y= \frac{x^3}{3} +x+2}~~~~~ ~~ ~\longleftarrow \text{Resposta}$



5)

Temos que calcular a primitiva da f'''(x) e encontrar o valor do C para que a função seja igual a 6 (como pede o enunciado), em seguida, calcula novamente a primitiva, só que dessa vez da função que encontramos anteriormente, e substituir x por 0, com isso encontraremos o valor do C para que a f'(0) seja igual a -8..., e assim sucessivamente, até chegarmos na função f(x)

f'''(x) = 6

$\displaystyle \int 6dx \\ \\ =6x+C \\ \\ \\ \text{Nesse caso, o C pode assumir qualquer valor real, pois quando}\\\text{derivamos uma constante, resultara 0.} \\ \\ \text{portanto, a funcao sera} \\ \\ \boxed{f'''(x)=6x}$


f''(0) = -8
Vamos assumir que o valor do C no item anterior seja zero.


$\displaystyle \int 6xdx \\ \\ \\ = \frac{\diagup\!\!\!\!6x^2}{\diagup\!\!\!\!2} \\ \\ =3x^2+C \\ \\ f''(0)=-8 \\ \\ 3x^2+C=-8 \\ \\ 3(0)^2+C=-8 \\ \\ C=-8 \\ \\ \\ \text{A funcao ficara assim} \\\\ \boxed{ f''(x)=3x^2-8}$



f'(0)=0

$\displaystyle \int 3x^2-8dx \\ \\ \\ 3\int x^2 ~-~8\int dx \\ \\ \\ =\diagup\!\!\!\!3\cdot \frac{x^3}{\diagup\!\!\!\!3} ~-8x \\ \\ =x^3-8x+C \\ \\ \\ f'(0)=0 \\ \\ 0^3-8\cdot 0+C=0 \\ \\ C=0 \\ \\ \\ \text{A funcao fica sendo} \\ \\ \boxed{f'(x)=x^3-8x}$


f(0)=5

$\displaystyle \int x^3-8xdx \\ \\ \\ \int x^3dx ~-~8\int xdx \\ \\ \\ = \frac{x^4}{4} -\diagup\!\!\!\!8 \frac{x^2}{\diagup\!\!\!\!2} \\ \\ \\ = \frac{x^4}{4} -4x^2+C \\ \\ \\ f(0)=5 \\ \\ \\ \frac{(0)^4}{4}-4(0)^2+C =5 \\ \\ \\ C=5 \\ \\ \\ \boxed{y= \frac{x^4}{4} -4x^2+5}~~~~~~\longleftarrow~~\text{Esta e a funcao de f(x)}$