Question

4) Um polígono regular tem 20 diagonais. Determine a medida, em gra de um de seus ângulos internos.​

Answer 1

Resposta:

resposta: 135°

Explicação passo a passo:

O número total de diagonais de um polígono é:

$D = \frac{n(n - 3)}{2}$

Onde:

D = número de diagonais = 20

n = número de lados = ?

Então derivando a fórmula obtemos:

$D = \frac{n(n - 3)}{2}$

$2D = n(n - 3)$

$2D = n^{2} - 3n$

$n^{2} - 3n = 2D$

$n^{2} - 3n - 2D = 0$

Substituindo o valor de D na equação , temos:

$n^{2} - 3n - 2.20 = 0$

$n^{2} - 3n - 40 = 0$

Aplicando a fórmula de Baskara para calcular os valores de n. Então:

$n = \frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4.a.c} }{2.a} = \frac{-(-3) +- \sqrt{(-3)^{2} - 4.1.(-40)} }{2.1} = \frac{3 +- \sqrt{9 + 160} }{2} = \frac{3 +- \sqrt{169} }{2}$

   $= \frac{3 +- 13}{2}$

$n' = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = - 5$

$n'' = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Conjunto solução da equação do segundo grau é S = {-5, 8}

Como o polígono é um objeto real, então o número de lados n = 8.

Prova:

Se o número de diagonais pode ser calculada por:

$D = \frac{n(n -3)}{2}$

Substituindo n = 8 temos:

$20 = \frac{8(8 - 3)}{2}$

$20 = \frac{8.5}{2}$

$20 = \frac{40}{2}$

$20 = 20$

Portanto o número de lados do polígono é 8

Uma vez tendo encontrado o número de lados, podemos calcular a medida do ângulo interno.

O ângulo interno de um polígono regular pode ser calculado da seguinte forma:

$I = \frac{(n - 2).180}{n}$

Onde n é o número de lados.

Aplicando a fórmula, temos:

$I = \frac{(n - 2).180}{n} = \frac{(8 - 2).180}{8} = \frac{6.180}{8} = \frac{1080}{8} = 135$

Portanto um dos ângulos interno do polígono regular convexo de 8 lados é 135°.

OBS: Todos os ângulos internos de um polígono regular são iguais.