Question

4) Um objeto é colocado a 20 cm de um espelho esférico de distância focal 30 cm, que que lhe conjuga uma imagem virtual ampliada. Pede-se determinar

a) O tipo de espelho. Justifique sua resposta.

b) A distância entre a imagem formada e o espelho.

c) A distância entre a imagem formada e o objeto.

Answer 1

Utilizando formulações de espelhos esfericos, somos capazes de provar que:

a) Concavo.

b) 60 cm.

c) 80 cm.

Explicação:

Então temos esta questão de optica de espelhos, onde só precisamos utilizar a seguinte formula:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$

Onde 'f' é a distancia focal, 'p' é a distancia do objeto até o espelho e "p' " é a distancia da imagem até o espelho.

Vamos considerar toda valor positivo como sendo real, ou seja, fora do espelho e todo valor negativo como sendo virtual e estando dentro do espelho.

Com isso podemos fazer a questão:

a) O tipo de espelho. Justifique sua resposta.

Para descobrirmos isso vamos fazer hipoteses e testar, com espelho concavo o foco é para fora, portanto positivo e para o espelho convexo o foco é dentro e portanto negativo.

Espelho Convexo:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$

$\frac{1}{-30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}$

$-\frac{1}{30}-\frac{1}{20}=\frac{1}{p'}$

$-\frac{2}{60}-\frac{3}{60}=\frac{1}{p'}$

$-\frac{5}{60}=\frac{1}{p'}$

$-\frac{1}{12}=\frac{1}{p'}$

$p'=-12$

Note que o resultado para a distância do objeto é negativo, ou seja, ele é virtual e portanto bate com o que esperavamos, porém a distancia dele até o espelho é de 12 cm, menor que as distância de 20 cm do objeto até o espelho e sabemos que a distância da figura até o espelho é diretamente proporcional a sua altura, ou seja, esta figura é menor que o objeto e portanto não é ampliada. Para ficar mais claro, está é a formula:

$\frac{O}{I}=\frac{p}{p'}$

Onde 'O' e 'I' são as alturas do objeto e imagem respectivamente, assim substituindo valores:

$\frac{O}{I}=\frac{20}{12}$

$I = 0,6.O$

O que significa que aimagem é 60% do tamanho do objeto somente, portanto menor. E com isso concluímos que este espelho não é convexo, pois a imagem não foi aumentada.

Espelho Concavo:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$

$\frac{1}{30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}$

$\frac{1}{30}-\frac{1}{20}=\frac{1}{p'}$

$\frac{2}{60}-\frac{3}{60}=\frac{1}{p'}$

$-\frac{1}{60}=\frac{1}{p'}$

$p'=-60$

Desta vez a distancia da imagem é tanto virtual quanto maior que do objeto, 60 cm, logo ela é virtual e aumentada e assim este espelho é de fato concavo.

OBS: Existe uma forma mais simples de se deduzir esta conclusão pelo simples fato de que qualquer espelho convexo cria imagens reduzidas, logo não poderia ser este, porém como eu não sei se você precisaria provar este fato para a sua questão também eu preferi deduzir com equações que tem um resultado exato e sem precisar recorrer a informações pré-deduzidas ou desenhos.

b) A distância entre a imagem formada e o espelho.

Como já calculamos anteriormente, esta distância da imagem até o espelho é de 60 cm.

c) A distância entre a imagem formada e o objeto.

Como o objeto esta fora do espelho a 20 cm e a imagem está dentro a 60 cm, então a distância entre eles é a soma destas, pois o espelho está entre eles:

d = 20 + 60 = 80 cm

Assim eles estão 80 cm separados.