Question

4. Um dos problemas estudados pelos Gregos era: encontrar dois números tais que sua soma e a soma dos seus quadrados sejam conhecidos. Diante do exposto, determine os números que somados resultam 5 e a soma dos seus quadrados resultam 13.

Answer 1

$\begin{cases}\sf{a+b=5}\\\sf{a^2+b^2=13}\end{cases}\\\sf{a+b=5\implies b=5-a}\\\sf{a^2+(5-a)^2=13}\\\sf{a^2+25-10a+a^2-13=0}\\\sf{2a^2-10a+12=0\div2}\\\sf{a^2-5a+6=0}\\\sf{a=1~~b=-5~~c=6}\\\sf{\Delta=b^2-4ac}\\\sf{\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6}\\\sf{\Delta=25-24}\\\sf{\Delta=1}\\\sf{a=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\sf{a=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}}\\\sf{a=\dfrac{5\pm1}{2}}\begin{cases}\sf{a_1=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3}\\\sf{a_2=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2}\end{cases}$

$\sf{b=5-a\Bigg|_{a=3}=5-3=2}\\\sf{b=5-a\Bigg|_{a=2}=5-2=3}\\\tt{portanto~os~n\acute{u}meros~s\tilde{a}o~\boxed{2}~e~\boxed{3}}$