Question

4) (UFRJ) Dois corpos A e B deslocam-se do ponto (7, 10) para o ponto (3, 2) mantendo-se sempre, a cada instante, em uma vertical. O corpo A desloca-se sobre a parábola de equação ;y= x²-8x=17 a trajetória de B é uma reta.


a) Determine a equação da trajetória B;
b) Seja f(x) a função que determina a distancia entre os corpos A e B para cada x. Encontre f(x);
c) Determine o valor de x para o qual a distância entre os dois corpos é máxima.

Answer 1

a) Sendo $y_b=ax+b$ essa equação, temos que

$3a+b=2$ e $7a+b=10$

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos

$7a+b-3a-b=10-2 \iff 4a=8 \iff a=2$

$3a+b=2 \iff 3\cdot2+b=2 \iff 6+b=2 \iff b=-4$

Logo, $\boxed{y_b=2x-4}$

b) Pela figura, vemos que:

$f(x)=y_b-y_a$

Desde modo:

$f(x)=2x-4-x^2+8x-17 \iff \boxed{f(x)=-x^2+10x-21}$

c) Esse valor é $x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{-10}{2(-1)} \iff \boxed{x_v=5}$