4. Suponha que f : [0, 2] → R ́e uma função contınua tal que f(0) = 5, f(1) = 4 e f(2) = 9. Mostre que existe c ∈ (0, 1) tal que 2f(c) = f(2c).
Soluções para a tarefa
Demonstração:
Faremos uso do
Teorema de Bolzano-Cauchy:
"Seja f: A ⟶ B uma função com A e B sendo subconjuntos de ℝ. Se f é definida e continua num intervalo [a, b] de seu domínio, então qualquer valor entre f(a) e f(b) pode ser escrito como f(c), com c ∈ [a, b]."
A demonstração do Teorema de Bolzano-Cauchy não é imediatamente óbvia e exige resultados da análise real; logo, a demonstração será omitida aqui.
Defina uma nova função g: [0, 2] ⟶ ℝ tal que g(x) = 2f(x) - f(2x). É óbvio que g é contínua.
Observe que g(0) = 5 e g(1) = -1. Pelo Teorema acima, já que 0 é um valor entre g(5) e g(1), existe c em [0, 1] tal que g(c) = 0. Obviamente, c não é 0 nem 1, então podemos afirmar que c ∈ (0, 1).
Entretanto, era exatamente isto que desejávamos; se g(c) = 0, então
2f(c) - f(2c) = 0
2f(c) = f(2c),
como queríamos demonstrar.