4. Seja ABC um triângulo equilátero de lado a e M o ponto médio do lado AB. Seja D o ponto sobre a reta BC, com C entre B e D, de modo que CD = a/2. Seja E o ponto de interseção de AC e DM. Seja F o ponto de interseção de DE com a reta paralela a AB passando por C.
1. Explique por que os triângulos DBM e DCF são semelhantes.
2. Calcule o comprimento do segmento de reta CF em função de a.
3. Explique por que os triângulos CEF e AEM são semelhantes.
4. Calcule o comprimento do segmento de reta AE em função de a.
Soluções para a tarefa
Os triângulos DBM e DCF são semelhantes porque BM // CF; O segmento CF é igual a a/6; Os triângulos CEF e AEM são semelhantes pelo caso AA~; O segmento AE é igual a 3a/4.
1. Os segmentos BM e CF são paralelos.
Observe que ao traçarmos um segmento paralelo à base BM do triângulo DBM, obtemos um novo triângulo, que é DCF.
Existe uma propriedade que diz que esse novo triângulo criado é semelhante ao triângulo maior.
Portanto, os triângulos DBM e DCF são semelhantes.
2. Se DBM e DCF são semelhantes, então é correto que:
BM/DB = CF/CD.
Como BM = a/2, DB = a + a/2 = 3a/2 e CD = a/2, podemos afirmar que:
(a/2)/(3a/2) = CF/(a/2)
a/2.a/2 = CF.3a/2
a²/4 = 3aCF/2
a/4 = 3CF/2
CF = 2a/12
CF = a/6.
3. Como AM e CF são paralelos, então os ângulos AME e EFC são congruentes.
Além disso, temos que os ângulos AEM e FEC são opostos pelo vértice.
Portanto, os triângulos CEF e AEM são semelhantes pelo caso AA~.
4. Como os triângulos CEF e AEM são semelhantes, então é correto dizer que:
AM/AE = CF/EC.
Observe que AM = a/2, CF = a/6 e EC = a - AE.
Logo:
(a/2)/AE = (a/6)/(a - AE)
(a/2).(a - AE) = AE.a/6
a²/2 - AE.a/2 = AE.a/6
a/2 = AE/2 + AE/6
a = AE + AE/3
a = 4AE/3
AE = 3a/4.
