Question

...........{4, se x > 2 f(x) = {2, se -2 < x ≤ 2 ...........{-2, se x ≤ -2 g(x) = f(-x+3) -5
Encontrar os valores de x que faz:
a) g(x) < 0
b) g(x) > 0
c) como ficaria o gráfico de g(x)?

Answer 1

De início, o exercício nos fornece uma função f de variável real, definida por partes (ou trechos). Essa função, bem como suas distintas leis de formação para cada intervalo de seu domínio, é dada por:  

$\sf{f(x)}=\begin{cases}\sf{-2\ \,,\ \: se\ \ \ x\leq-2}\\\\ \sf{2\ \,,\ \: se\ \ \, -2<x\leq2}\\\\ \sf{4\ \,,\ \: se\ \ \ x>2}\end{cases}$

Em seguida, note que não existe restrição para a variável x da função f(x). À vista disso, é verdade que ela tem para domínio todo o conjunto dos números reais. Posteriormente, substituindo em f(x) o seu argumento real x por 3 - x (também real), estaremos aptos a entender mais sobre a função g(x) = f(3 - x) - 5. Pelo fato de f(3 - x) surgir por intermédio da referida substituição, g(x) também será definida em trechos. Ou seja:

$\sf{\qquad\quad\ \,f(3-x)=}\begin{cases}\sf{-2\ \,,\ \: se\ \ \ \:3-x\leq-2}\\\\ \sf{2\ \,,\ \: se\ \ \ -2<3-x\leq2}\\\\ \sf{4\ \,,\ \: se\ \ \ \:3-x>2}\end{cases}\\\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ f(3-x)}=\begin{cases}\sf{-2\ \,,\ \: se\ \ \ \:5\leq x}\\\\ \sf{2\ \,,\ \: se\ \ \ \: 1\leq x <5}\\\\ \sf{4\ \,,\ \: se\ \ \ \: x<1}\end{cases}\\\\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ f(3-x)-5=}\begin{cases}\sf{-2-5\ \,,\ \: se\ \ \ \:x\geq 5}\\\\ \sf{2-5\ \,,\ \:se\ \ \ \:1\leq x<5}\\\\ \sf{4-5\ \,,\ \:se\ \ \ \:x<1}\end{cases}$

$\sf{\implies\ \ \ \underbrace{\sf f(3-x)-5}_{g(x)}=}\begin{cases}\sf{-1\ \,,\ \: se\ \ \ \:x<1}\\\\ \sf{-3\ \,,\ \:se\ \ \ \:1\leq x <5}\\\\ \sf{-7\ \,,\ \: se\ \ \ \: x\geq 5}\end{cases}\\\\\\\\\\\ \implies\ \ \ \boxed{\sf g(x)=\begin{cases}\sf{-1\ \,,\ \: se\ \ \ \:x<1}\\\\ \sf{-3\ \,,\ \:se\ \ \ \:1\leq x <5}\\\\ \sf{-7\ \,,\ \: se\ \ \ \: x\geq 5}\end{cases}}$

Como podemos ver, f(3 - x) - 5 = g(x), assim como f(x), é definida por meio de três leis de formação distintas, sendo uma para cada um dos novos intervalos encontrados. Por último, referente ao domínio de g(x), vimos que sua variável livre x percorre toda a reta real e, por este motivo, dizemos que o domínio de g(x) é o mesmo de f(x) (os reais). Vamos agora à resolução de cada item.

➯ Letra a)

As três leis de formação da função g(x) são constantes negativas e, devido a isso, g(x) só vai assumir valores negativos (gráfico abaixo do eixo das abscissas).

Resposta:

$\large\boxed{\sf{g(x)<0\,,\, \forall\,x\,\in\,\mathbb{R}}}$

➯ Letra b)

Equivalentemente ao que foi dito no item a), podemos dizer que não existe x pertencente ao domínio real da função g(x), que satisfaça g(x) > 0.

Resposta:

$\large\boxed{\sf{\nexists\,x\,\in\,\mathbb{R}:\, g(x)>0}}$

➯ Letra c)

O gráfico de g(x) = f(3 - x) - 5 está anexo.