Matemática, perguntado por clovisreggio, 4 meses atrás

4. São dadas a reta r, de equação x – 2 y + 3 = 0, e a circunferência , de equação x 2 + y 2 + 2x – 4 y + 4 = 0. Qual é equação da reta traçada pelo centro de e perpendicular a r .

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Tendo terminado os cálculos, concluímos que a equação geral da reta "s" perpendicular à reta "r", passando pelo ponto "C" - centro da circunferência "λ" - é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf s: 2x + y = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} r: x - 2y + 3 = 0\\\lambda: x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 4 = 0\\ s = \:?\end{cases}$

Para obtermos a equação da reta "s" perpendicular à reta "r" e que passa pelo centro da circunferência "λ" podemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{C} = m_{s}\cdot (x - x_{C})\end{gathered}$}$

Para resolver esta questão devemos:

Recuperar o coerficiente angular da reta "r". Para isso, devemos isolar "y" no primeiro membro:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x - 2y + 3 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -2y = -x - 3\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2y = x + 3\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{r} = \frac{1}{2}\end{gathered}$}$

Calcular o coeficiente angular da reta "s":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}\:\:r \perp s \Longrightarrow m_{r}\cdot m_{s} = -1 \Longrightarrow m_{s} = -\frac{1}{m_{r}}\end{gathered}$}$

Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{s} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -1\cdot\frac{2}{1} = -2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{s} = -2\end{gathered}$}$

Recuperar as coordenadas do centro da circunferência:

Sabendo que toda equação geral da circunferência pode ser montada sobre a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Ax^{2} + By^{2} + Cxy + Dx + Ey + F = 0\end{gathered}$}$

Recuperando as coordenadas do centro, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x_{C} = - \frac{D}{2\cdot A} = -\frac{2}{2\cdot1} = -\frac{2}{2} = -1\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{C} = - \frac{E}{2\cdot A} = -\frac{(-4)}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\end{gathered}$}$

Portanto, o centro da circunferência é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} C = (-1, \:2)\end{gathered}$}$

Montar a equação da reta "s": Para isso, devemos substituir tanto o coeficiente angular da reta "s" como as coordenadas do centro "C" na equação "I":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = -2\cdot(x -(-1))\end{gathered}$}$