Question

4. Sabendo que em cada item os pontos indicados representam os vértices de um triângulo equilátero, determine as coordenadas do ponto C.
a) A (0, 2), B (0,8) e C (xc, yc)
b) A (-5, 0), B (3, 0) e C (xc, yc)
c) A (1, 1), B (√3, -1) e C (xc, yc)

Answer 1

Olá!

Como é um triângulo equilátero, a medida dos 3 lados são iguais. Ou seja, d(A,B) = d(B,C) 

Dados dois pontos A = ($x_{A}, y_{A}$) e B = ($x_{B}, y _{B}$), temos que a distância entre os pontos A e B dada por d(A,B) = $\sqrt{( x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} }$

a) Temos que:

d(A,B) = $\sqrt{(0-0)^{2} + (8-2)^{2}} = \sqrt{6^{2}} = 6$
Portanto d(A,C) = d(B,C) = 6

d(A,C) = $\sqrt{ x_c^{2} + (y_c -2)^{2} } = 6$
d(B,C) = $\sqrt{x_c^{2} + (y_c - 8)^{2}} = 6$


Logo, 

$\sqrt{ x_c^{2} + (y_c -2)^{2}}$ = $\sqrt{x_c^{2} + (y_c - 8)^{2}}$
$x_c^{2} + (y_c - 2)^{2} = x_c^{2} + (y_c - 8)^{2}$
$(y_c-2)^{2} = (y_c-8)^{2}$
$y_c^{2} - 4y_c + 4 = y_c^{2} -16y_c +64$
$-4y_c + 4 = -16y_c + 64$
$-4y_c + 16y_c = 64 - 4$
$12y_c = 60$
$y_c = \frac{60}{12}$
$y_c = 5$

Substituindo o valor $y_c = 5$ em $\sqrt{ x_c^{2} + (y_c -2)^{2} } = 6$ :

$\sqrt{x_c^{2} + (5-2)^{2}} = 6$
$x_c^{2} + 3^{2} = 36$
$x_c^{2} = 36 - 9$
$x_c ^{2} = 27$
$x = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ ou $x = -3 \sqrt{3}$

Logo C=($3 \sqrt{3} ,5$) ou C = ($-3 \sqrt{3} ,5$)

b) Da mesma forma,
$d(A,B) = \sqrt{(3-(-5))^{2} + (0-0)^{2}} = \sqrt{(3+5)^{2}} = \sqrt{8^{2}} = 8$

Logo, d(A,C) = $\sqrt{(x_c -(-5))^{2} + y_c^{2}} = \sqrt{(x_c + 5)^{2} + y_c^{2}} = 8$
d(B,C) = $\sqrt{(x_c - 3)^{2} + y_c^{2} } = 8$

Daí, $\sqrt{(x_c + 5)^{2} + y_c^{2}}$ = $\sqrt{(x_c - 3)^{2} + y_c^{2} }$
$(x_c+5)^{2} + y_c^{2}=(x_c^-3)^{2}+y_c^{2}$
$x_c^{2} + 10x_c + 25 = x_c^{2} - 6x_c + 9$
$10x_c+25=-6x_c+9$
$16x_c = -16$
$x_c = -1$

Substituindo o valor de $x_c = -1$ em  $\sqrt{(x_c - 3)^{2} + y_c^{2} } = 8$ :
$\sqrt{(-1-3)^{2} + y_c^{2}} = 8$
$(-4)^{2}+y_c^{2}=64$
$16 + y_c^{2} = 64$
$y_c^{2} = 48$
$y_c = 4 \sqrt{3}$ ou $y_c = -4 \sqrt{3}$

Logo, C($-1, 4 \sqrt{3}$) ou C($-1,-4 \sqrt{3}$)

c) d(A,B) = $\sqrt{(5-1)^{2} +(1-1)^{2}}= \sqrt{4^{2}}=4$.
Daí, d(A,C) = $\sqrt{(x_c-1)^{2}+(y_c-1)^{2}} = 4$
d(B,C) = $\sqrt{(x_c-5)^{2}+(y_c-1)^{2}} = 4$

Logo,  $\sqrt{(x_c-1)^{2}+(y_c-1)^{2}}$ = $\sqrt{(x_c-5)^{2}+(y_c-1)^{2}}$
$(x_c-1)^{2}+(y_c-1)^{2}=(x_c-5)^{2}+(y_c-1)^{2}$
$x_c^{2} -2x_c+1 = x_c^{2}-10x_c+25$
$8x_c = 24$
$x_c=3$

Substituindo $x_c=3$ em $\sqrt{(x_c-1)^{2}+(y_c-1)^{2}} = 4$ :
$\sqrt{(3-1)^{2}+(y_c-1)^{2}} = 4$
$4 + (y_c-1)^{2} = 16$
$(y_c-1)^{2} = 12$
$y_c-1 = +- 2 \sqrt{3}$
$y_c = -2 \sqrt{3} +1$ ou $y_c = 2 \sqrt{3} + 1$

Portanto C($3, 2 \sqrt{3} +1$) ou C($3,-2 \sqrt{3} +1$)

d) Da mesma forma, d(A,B) = $\sqrt{( \sqrt{3} - 0)^{2} + (-1-0)^{2} } = \sqrt{ (\sqrt{3})^{2} + 1 } = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Logo, d(A,C) = $\sqrt{x_c^{2} + y_c^{2}} = 2$
d(B,C) = $\sqrt{(x_c - \sqrt{3})^{2} + (y_c-1)^{2} } = 2$

$\sqrt{x_c^{2} + y_c^{2}}$ = $\sqrt{(x_c - \sqrt{3})^{2} + (y_c-1)^{2} }$
$x_c^{2}+y_c^{2} = x_c^{2} -2 \sqrt{3} x_c+ 3+y_c^{2}+2y_c+1$
$-2 \sqrt{3} x_c+3=-2y_c-1$
$-2 \sqrt{3} x_c+4=-2y_c$
$y_c= \sqrt{3}x_c-2$

Substituindo em $\sqrt{x_c^{2} + y_c^{2}} = 2$ :
$x_c^{2}+3x_c^{2}-4 \sqrt{3}x_c+4=4$
$4x_c^{2}-4 \sqrt{3} x_c=0$
$4x_c(x_c- \sqrt{3} )=0$
$x_c=0$ ou $x_c= \sqrt{3}$

Se $x_c=0$ então $y_c = -2$
Se $x_c= \sqrt{3}$ então $y_c=1$

Portanto C=(0,-2) u C=($\sqrt{3} ,1$)