Question

4 – Resolva os exercícios de PG utilizando as fórmulas necessárias:
a) Determine o oitavo termo de uma PG cujo primeiro termo é 2 e a razão 2.

b) Determine o nono termo de uma PG cujo o primeiro termo é 2 e a razão é 3.

c) Calcule a soma dos 16 primeiros termos da seguinte PG (2,4,8,16,...)

d) Calcule a soma dos 9 primeiros termos da seguinte PG (4,12,36,108,...)

Answer 1

Neste exercício vamos precisar da fórmula para soma dos "n" termos da PG (finita) e do termo geral da PG, que relaciona a razão "q" e dois termos $\sf a_n ~e~ a_m$ ocupando, respectivamente, as posições "n" e "m" da PG. Ambas relações são mostradas logo abaixo.

$\sf Soma~dos~n~Termos~da~PG~Finita:~~\boxed{\sf S_n~=~\dfrac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}}\\\\\\Termo~Geral~da~PG:~~\boxed{\sf a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}$

a)

Substituindo as informações no termo geral:

$\boxed{\sf \begin{array}{l}\sf a_n~=~a_8\\\sf a_m~=~a_1~=~2\\\sf q~=~2\end{array}}$

$\sf a_8~=~2\cdot 2^{8-1}\\\\\\\sf a_8~=~2\cdot 2^{7}\\\\\\\sf a_8~=~2\cdot 128\\\\\\\boxed{\sf a_8~=~256}$

b)

Substituindo as informações no termo geral:

$\boxed{\sf \begin{array}{l}\sf a_n~=~a_9\\\sf a_m~=~a_1~=~2\\\sf q~=~3\end{array}}$

$\sf a_9~=~2\cdot 3^{9-1}\\\\\\\sf a_9~=~2\cdot 3^{8}\\\\\\\sf a_9~=~2\cdot 6561\\\\\\\boxed{\sf a_9~=~13122}$

c)

Vamos começar determinando a razão da PG, quociente entre um termo e seu antecessor, utilizando os dois primeiros termos da progressão:

$\sf q~=~\dfrac{a_2}{a_1}~=~\dfrac{4}{2}~=~\boxed{\sf 2}$

Podemos, agora, substituir as informações na fórmula da soma dos "n" termos de uma PG finita.

$\boxed{\sf \begin{array}{l}\sf a_1~=~2\\\sf q~=~2\\\sf n~=~16\end{array}}$

$\sf S_{16}~=~\dfrac{2\cdot \left(2^{16}-1\right)}{2-1}\\\\\\\sf S_{16}~=~\dfrac{2\cdot \left(65536-1\right)}{1}\\\\\\\sf S_{16}~=~2\cdot \left(65535\right)\\\\\\\boxed{\sf S_{16}~=~131\,070}$

d)

Vamos começar determinando a razão da PG, quociente entre um termo e seu antecessor, utilizando os dois primeiros termos da progressão:

$\sf q~=~\dfrac{a_2}{a_1}~=~\dfrac{12}{4}~=~\boxed{\sf 3}$

Podemos, agora, substituir as informações na fórmula da soma dos "n" termos de uma PG finita.

$\boxed{\sf \begin{array}{l}\sf a_1~=~4\\\sf q~=~3\\\sf n~=~9\end{array}}$

$\sf S_{9}~=~\dfrac{4\cdot \left(3^{9}-1\right)}{3-1}\\\\\\\sf S_{9}~=~\dfrac{4\cdot \left(19683-1\right)}{2}\\\\\\\sf S_{9}~=~2\cdot \left(19682\right)\\\\\\\boxed{\sf S_{9}~=~39\,364}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$