Question

4. Qual é o valor de k para que a equação 2x² + (k - 4)x + (6k – 2)=0 sabendo
que:
a) as raízes são simétricas.
b) as raízes são inversas.

Obs: Preciso do cálculo completo !!!

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação:

Explicação passo a passo:

Seja a equação:

        $2x^{2} + (k - 4)x + (6k - 2) = 0$

Se esta equação foi gerada a partir da seguinte função:

      $f(x) = 2x^{2} + (k - 4)x + (6k - 2)$

cujos coeficientes são:

                     $a = 2\\b = k - 1\\c = 6k - 2$

OBSERVAÇÃO: Toda equação do segundo grau se relaciona com a soma "S" das raízes e com o produto "P" das raízes segundo a fórmula:

                $x^{2} - Sx + P = 0$

a) Para que as raízes sejam simétricas (opostas) é necessário que a soma de das raízes seja igual a 0, ou seja:

            $S = x' + x'' = -\frac{b}{a} = 0$

Então:

                    $\frac{-(k - 4)}{2} = 0$

                    $-k + 4 = 0$

                           $-k = -4$

                              $k = 4$

Portanto, para que suas raízes sejam simétricas o valor de "k" é:

                              k = 4

b) Para que as raízes sejam inversas é necessário que o produto das raízes seja igual a -1, ou seja:

                  $P = x'.x'' = \frac{c}{a} = -1$

Então:

                         $\frac{6k - 2}{2} = -1$

                      $6k - 2 = -2$

                             $6k = -2 + 2$

                             $6k = 0$

                                $k = \frac{0}{6}$

                                $k = 0$

Portanto, para que as raízes sejam inversas o valor de k é:

                                k = 0

Saiba mais sobre equações do segundo grau, acessando:

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Veja também a solução gráfica da referida questão:

Observe que quando k = 4, (GRÁFICO AZUL), a referida função não toca e nem cruza o eixo das abscissas, porém o eixo de simetria é coincidente com o eixo das ordenadas, o que significa dizer que suas raízes são imaginárias e simétricas.

Observe também que quando k = 0, (GRÁFICO LILÁS), a referida função cruza o eixo das abscissas por dois pontos. Pontos estes, cujos valores das abscissas são inversos, ou seja, raízes inversas.