Question

4)Qual é o total de anagramas distintos que podem ser formados com as letras da palavra BUSCANDO, de modo que todas as consoantes fiquem em posições adjacentes?
A)2880
B)4320
C)2160
D)5980
E)3240
OBS :Resolvi, mas não tenho gabarito, quero confirmar a minha resposta. Desde já agradeço.

Answer 1

Olá!

A palavra "BUSCANDO":

• tem 8 letras, das quais 5 são consoantes e 3 são vogais.

• não tem nenhuma letra repetida, logo, não há necessidade de calcular permutação com repetição.

A partir disso, podemos concluir que teremos 8 "slots" ou "espaços" para preencher com as letras em cada anagrama:

$\begin{matrix} \underbrace{ {\color{Red} \_} \times {\color{Orange} \_} \times {\color{Purple} \_} \times {\color{Green} \_} \times {\color{Blue} \_} \times {\color{Pink} \_} \times {\color{Red} \_} \times {\color{Purple} \_} } \\ {\sf 8~slots} \end{matrix}$

A permutação e o PFC combinados são as melhores ferramentas para calcular anagramas com restrições (ou condições).

-----------------------------------

Interpretando o problema:

Para calcular o número de anagramas da palavra "BUSCANDO", devemos calcular a permutação de suas letras. Como temos a condição de que todas as consoantes devem estar em posições adjacentes (uma ao lado da outra), precisamos restringir a permutação. Para isso, podemos fazer o seguinte:

→ Primeiramente, isolamos as consoantes e as vogais, dado que as consoantes serão um "grupo" de letras unidas:

$\sf {\color{Red} b} \times {\color{Orange} b} \times {\color{Purple} b} \times {\color{Green} b} \times {\color{Blue} b} \times {\color{Pink} a} \times {\color{Red} a} \times {\color{Purple} a}$

Cada "b" representa uma consoante e cada "a" representa uma vogal.

Como as consoantes não são fixas (não têm uma ordem específica), precisamos calcular a permutação dessas letras, assim como a das vogais:

→ Permutação das consoantes:

$\sf {\color{Red} \_} \times {\color{Orange} \_} \times {\color{Purple} \_} \times {\color{Green} \_} \times {\color{Blue} \_}$

No 1° slot, podemos colocar qualquer uma das 5 consoantes (b, s, c, n ou d). Assim, temos 5 possibilidades para o 1° slot:

$\sf {\color{Red} 5} \times {\color{Orange} \_} \times {\color{Purple} \_} \times {\color{Green} \_} \times {\color{Blue} \_}$

No 2° slot, podemos colocar qualquer uma das consoantes restantes, pois não podemos repetir as letras. Assim, temos 4 possibilidades para o 2° slot:

Repetindo esse processo para todos os slots, chegaremos em:

$\sf {\color{Red} 5} \times {\color{Orange} 4} \times {\color{Purple} 3} \times {\color{Green} 2} \times {\color{Blue} 1}$

Assim, a permutação das 5 consoantes é:

$\sf P_5 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! = 120$

Portanto, temos 120 permutações para as consoantes.

→ Permutação das vogais:

$\sf {\color{Red} \_} \times {\color{Orange} \_} \times {\color{Purple} \_}$

No 1° slot, podemos colocar qualquer uma das 3 vogais (u, a, o). Assim, temos 3 possibilidades para o 1° slot:

$\sf {\color{Red} 3} \times {\color{Orange} \_} \times {\color{Purple} \_}$

No 2° slot, podemos colocar qualquer uma das vogais restantes, pois não podemos repetir as letras. Assim, temos 2 possibilidades para o 2° slot:

$\sf {\color{Red} 3} \times {\color{Orange} 2} \times {\color{Purple} \_}$

No 3° slot, podemos colocar a última vogal que restou, pois não podemos repetir as letras. Assim, temos apenas 1 possibilidade para o 3° slot:

$\sf {\color{Red} 3} \times {\color{Orange} 2} \times {\color{Purple} 1}$

Assim, a permutação das 3 vogais é:

$\sf P_3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6$

Portanto, temos 6 permutações para as vogais.

----------------------------------

Calculando os anagramas:

Agora que sabemos a permutação das letras, precisamos unir as vogais e as consoantes em uma palavra só. Para isso, multiplicamos as permutações (observe que isso é basicamente retomar a permutação inicial):

$\sf {\color{Red} P_c} \cdot {\color{Orange} P_v}$

Onde $\sf {\color{Red} P_c}$ é o número permutações das consoantes e $\sf {\color{Orange} P_v}$ é o número de permutações das vogais.

Assim, temos que:

$\sf {\color{Red} P_c} \cdot {\color{Orange} P_v} = {\color{Red} P_5} \cdot {\color{Orange} P_3} = {\color{Red} 120} \cdot {\color{Orange} 6} = \color{Purple} 720$

→ Isso nos diz que temos 720 anagramas para a palavra. Porém, devemos ter em mente que isso apenas calcula os anagramas de "BUSCANDO" com as consoantes fixadas nos primeiros slots. Isso seria:

$\sf \color{Red} b b b b b \color{Orange} a a a$

Mas perceba que as consoantes ainda podem permanecer unidas (em posições adjacentes) ao deslocarmos esse grupo:

$\sf {\color{Orange} a} \color{Red} b b b b b \color{Orange} a a$

$\sf {\color{Orange} a a} \color{Red} b b b b b \color{Orange} a$

$\sf \color{Orange} a a a \color{Red} b b b b b$

Ou seja, temos 4 possibilidades para a posição das consoantes, assim, precisamos multiplicar o número de anagramas da palavra por 4:

$\sf {\color{Purple} 720} \cdot {\color{Orange} 4} = \color{Red} 2.880$

→ Assim, a palavra "BUSCANDO" tem 2.880 anagramas quando suas consoantes estão em posições adjacentes.

Portanto, alternativa A - [2.880].

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)