Question

4. (PUCRS) Qual o período e a imagem da função definida
por f(x) = 3sen(2x)?

Answer 1

Tomemos uma função auxiliar

$g(x)=\mathrm{sen}(kx)$

sendo $k$ uma constante qualquer, $k \neq 0.$


O período da função $g$ é o menor valor de $T$ para o qual temos

$g(x+T)=g(x)$


Para $g(x)=\mathrm{sen}(kx),$ o período $T$ é dado por

$T=\dfrac{2\pi}{|k|}$


Se multiplicarmos a função $g$ por uma constante não-nula, a nova função obtida terá o mesmo período,

Se adicionarmos uma constante qualquer à função $g,$ a nova função obtida também terá o mesmo período.


(O resultado acima vale também para $g(x)=\cos(kx)$  ).


$\bullet\;\;$ Encontrar o período da função $f(x)=3\,\mathrm{sen}(2x):$

O período da função $g(x)=\mathrm{sen}(2x)$ é

$T=\dfrac{2\pi}{|2|}\\ \\ \\ T=\dfrac{2\pi}{2}\\ \\ \\ T=\pi$


Como $f(x)=3\cdot g(x),$ o período de $f$ é o mesmo período de $g:$

$T=\pi.$


$\bullet\;\;$ Encontrar o conjunto imagem de $f:$


Seja $\alpha$ um arco qualquer, $\alpha\in \mathbb{R}.$ Sabemos que

$-1\leq \mathrm{sen\,}\alpha\leq 1.$


Logo, para $\alpha=2x,$ segue que

$-1\leq \mathrm{sen}(2x)\leq 1$


Multiplicando a dupla desigualdade acima por $3,$ temos

$-3\leq 3\,\mathrm{sen}(2x)\leq 3\\ \\ -3\leq f(x)\leq 3$


Portanto, o conjunto imagem de $f$ é

$\mathrm{Im}(f)=\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,-3\leq y\leq 3 \right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathrm{Im}(f)=[-3,\;3].$