Question

4 pessoas se encontram e todas se cumprimentam com um aperto de mãos
Qual é o total de cumprimentos

Answer 1

teremos 6 apertos de mãos

Answer 2

Resposta:

$\boxed{Apertos=6}$

Explicação:

Para resolver isso, podemos considerar um conjunto que representa o grupo de 4 pessoas, $A =\{a, b, c, d\}$.

Vamos representar um aperto de mão como sendo um par de dois elementos do conjunto A, ou seja, se a pessoa $a$ aperta a mão da pessoa $b$, teríamos o par $(a, b)$ representando esse aperto.

Assim, queremos encontrar o número total de pares que podem ser formados com esses 4 elementos. Note que os pares $(a, b) = (b, a)$ são iguais, pois a pessoa $a$ apertar a mão da pessoa  $b$ é a mesma coisa que a pessoa $b$ apertar a mão da pessoa $a$.

Então, queremos encontrar o número de pares formados por 4 elementos de modo que a ordem desses pares não importa, ou seja, queremos o número de combinações que podem ser formadas.

O número de combinações de k elementos dentre n é dado pelo coeficiente binomial:

$\boxed{^nC_k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$

Dessa forma, queremos o número de combinações de pares (portanto, 2 elementos) dentre o total de pessoas (4). Assim:

$^4C_2=\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=6$

Portanto, teremos que o número de apertos de mãos que ocorrerão é igual a 6.

Os pares seriam: {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}