Question

4. Para que uma função de variável complexa seja derivável (ou diferenciável), isto é, sua derivada exista e seja válida, é necessário que uma série de condições sejam atendidas, dada a natureza de múltiplas variáveis da função, f(z)=u(x,y)+iv(x,y), visto que z=x+iy. Essas condições são dadas com respeito à função f(z) e também sobre suas partes u(x,y) e v(x,y).

Dos casos a seguir, em qual deles a função atende a todas as condições que garantem a existência e a validade da derivada de uma função complexa?

A. A função f(z) atende Cauchy-Riemann e tem derivadas contínuas.

B. A função f(z) e suas partes são contínuas, porém as derivadas não são contínuas e atendem às condições de Cauchy-Riemann.

C. A função f(z) não é contínua em todo o domínio, mas tem partes contínuas com derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que atendem às condições de Cauchy-Riemann.

D. A função f(z) é contínua; suas partes e as derivadas parciais de primeira ordem dessas partes são contínuas; e as derivadas parciais de primeira ordem das partes atendem às condições de Cauchy-Riemann.

E. A função f(z) é contínua; suas partes e as derivadas parciais de primeira ordem dessas partes são contínuas; e as derivadas parciais de primeira ordem das partes atendem apenas uma das condições de Cauchy-Riemann.

Answer 1

Resposta:

D.

A função f(z) é contínua; suas partes e as derivadas parciais de primeira ordem dessas partes são contínuas; e as derivadas parciais de primeira ordem das partes atendem às condições de Cauchy-Riemann.

Explicação passo a passo:

Para que a derivada de uma função complexa exista e seja válida, é necessário que a função f(z) seja contínua em todo ponto onde sua derivada existe e que suas partes u(x,y) e v(x,y) sejam contínuas, assim como suas derivadas parciais de primeira ordem. Ainda, as derivadas parciais de primeira ordem de suas partes u(x,y) e v(x,y) devem satisfazer às condições de Cauchy-Riemann. Todas essas condições são obrigatórias. Na ausência delas, a função não tem derivada válida no domínio considerado.