4) Para que as equações fosse sempre possíveis, houve a necessidade de se ampliar o universo dos números . Criou-se então: * 10 pontos Um número, cujo quadrado é -1, denominado diagonal principal Um número cujo, quadrado é -2 denominado diagonal secundária Um número cujo , quadrado é -1 denominado unidade imaginária Um número, cujo quadrado é - i³ denominado unidade imaginária
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
A partir dessa definição, surge um novo conjunto de números, denominado conjunto dos números complexos, que indicamos por C.
4. Definição de números complexos.
Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: z = a + bi , onde i = √-1, é a unidade imaginária .
Ex: z = 2 + 3 i ( a = 2 e b = 3) w = -3 -5 i (a = -3 e b = -5) u = 100 i ( a = 0 e b = 100)
5. NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d) se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e) Seja z = a + b i , chama-se conjugado de z e representa-se por um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z. Ex: z = 4 + 5i -> z = 4 – 5i
f) do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
g) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = ( a , b ) .
6. Forma Algébrica.
Os números complexos são formados por um par ordenado ( a , b ) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária. Sendo P o ponto de coordenadas ( a , b ), a forma algébrica pela qual representaremos um número complexo será a + bi, como a e b Є Reais. A forma algébrica de representar um número complexo é mais prática e mais utilizada nos cálculos.
7. Operações com números complexos:
Adição e subtração: Somamos ou subtraímos números complexos, somando ou subtraindo, respectivamente, suas partes reais e imaginárias, separadamente.
Isto é: (a + bi) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di ) = (a - c) + (b - d)i
8. Multiplicação: A multiplicação de dois números complexos se dá de acordo com a regra de multiplicação de binômios e lembrando que i² = - 1, temos:
(a + bi)(c + di) = ac + adi+ bci+ bdi²
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci – bd( a + bi)( c + di) =
(ac – bd) + (ad + bc)i
9. Divisão: A divisão de dois números complexos pode ser obtida escrevendo-se o quociente sob a forma de fração; procedendo-se de modo análogo ao utilizado na racionalização do denominador de uma fração, multiplicam-se ambos os termos da fração pelo número complexo conjugado do denominador.