Question

4) Obtenha a equação da parábola de foco F( 2,3) e diretriz d: y = 1.

ajudem eu pfv

Answer 1

A equação de uma parábola de concavidade voltada para cima é do tipo :

$(\text x-\text x_\text v) ^2=2.\text p.(\text y-\text y_\text v) \\\\ \underline{\text{onde}}: \\\\ \text x_\text v , \text y_\text v= \text{coordenadas do vertice}$ ;

$\text p =$ parâmetro ( distância entre o foco e a reta diretriz ) ;  

Queremos a equação de uma parábola tendo as seguintes informações :

$\text F(2,3) \ \ ; \ \ \text{diretriz d : y = 1 }$

Achando o parâmetro:

Distância do foco até a reta y = 1 ⇒ ( 0.x + 1.y - 1 = 0 )

$\displaystyle \text p = \frac{|\text a.\text x_\text f+\text b.\text y_\text f+\text c|}{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}$

a = 0, b = 1 , c = -1

substituindo :

$\displaystyle \text p = \frac{|0.2+1.3-1|}{\sqrt{0^2+1^2}}\\\\\\ \text p = \frac{3-1}{1} \\\\ \text p = 2$

Sabemos que as coordenadas do x do foco coincide com o x do vértice, portanto :

$\text x_\text v = 2$

E sabemos a coordenada do y do foco é dado por :

$\displaystyle \text y_\text f = \text y_\text v + \frac{\text p}{2}$

ou seja :

$\displaystyle 3= \text y_\text v +\frac{2}{2} \\\\ \text y_\text v = 3-1 \\\\ \text y_\text v = 2$

Substituindo na equação da parábola :

$(\text x-\text x_\text v )^2=\text 2.\text p.(\text y-\text y_\text v) \\\\ (\text x-2)^2=2.2.(\text y - 2) \\\\ \text x^2-4\text x+4 = 4\text y - 8 \\\\\\ \huge\boxed{\text x^2-4\text y -4\text x +12 = 0}\checkmark$