Question

4) o valor numérico da expressão:
(X^2 - Y^2+ X- Y + X-Y)^1/5
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X - y y-c

Para x = 0,33 E y = 2/3 é:
A) 0
B) 0.1333...
C) 0.323
D)5/9

Answer 1

Olá Mpfg1


Produtos notáveis usados

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2}}}\\\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3}}}\\\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)}}}$

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4 - 


Organizando a expressão

$\mathsf{\Big(\dfrac{x^2-y^2+x-y}{x-y}+\dfrac{x-y}{y-x}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}$

No numerador tem o produto notável diferença de dois cubo, x² - y². Colocando em sua forma fatorada

$\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+x-y}{x-y}+\dfrac{x-y}{y-x}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}$

Na fração do lado direito, vamos colocar -1 em evidência no denominador e trocar o sinal de mais pelo sinal de menos. 

$\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+x-y}{x-y}+\dfrac{x-y}{y-x}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+x-y}{x-y}+\dfrac{x-y}{-1\cdot(x-y)}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+x-y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x-y}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}$

Dessa forma as duas frações ficaram com os mesmos denominadores, dessa forma podemos transforma-la em uma só

$\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+x-y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x-y}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+x-y-(x-y)}{x-y}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)+\diagup\!\!\!\!x-\diagdown\!\!\!\!y-\diagup\!\!\!\!x+\diagdown\!\!\!\!y}{x-y}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)}{x-y}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}$

Note agora que o fator (x - y) aparece no numerador e no denominador. Basta agora simplifica-los 

$\mathsf{\Big(\dfrac{(x-y)\cdot(x+y)}{x-y}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(x+y\Big)^{\dfrac{1}{5}}}$

Como não dá para simplificar mais, vamos achar o valor de x

$\mathsf{x=0,333...}$

Note que x é uma dízima periódica. Para encontrar a sua fração vamos pensar da seguinte maneira. Multiplique x por 10

$\mathsf{x=0,333...~\cdot~(10)}\\\\\mathsf{10x = 3,333...}$

Dessa forma deslocamos a virgula para o lado direito. Agora pensa comigo. Se nós tirarmos a diferença entre 10x e x, oque obtemos? Como é uma dízima periódica, e nessas duas frações depois da virgula só tem 3, então o que tem depois da virgula seria cancelado, sobrando apenas a diferença da parte inteira que seria, 3 - 0, ou seja, 10x - x resultará em 3

$\mathsf{10x-x=3,333... - 0,333..}\\\\\mathsf{10x - x = 3}\\\\\mathsf{9x = 3}\\\\\mathsf{x = \dfrac{3}{9}}\\\\\mathsf{x = \dfrac{1}{3}}$

Achado o x, basta substituir na equação

$\mathsf{\Big(x+y\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(\dfrac{\diagup\!\!\!\!3}{\diagup\!\!\!\!3}\Big)^{\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{\Big(1\Big)^\dfrac{1}{5}}}\\\\\\\mathsf{=1}$

Como o 1 elevado a qualquer número resulta no próprio 1, então temos que a resposta final será 1

Alternativa (e)


5 - 


Organizando a expressão


$-\mathsf{\Big[\dfrac{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{(zx^2+zy^2+2zxy)\cdot(x^2-y^2)}\Big]}$


No numerador apareceu o produto notável cubo da soma de duas parcelas que é o mesmo que (x + y)³. No denominador o fator do lado esquerdo, colocaremos o z em evidência, já o fator (x² - y²) é o mesmo que (x - y) . (x + y), esse produto notável é conhecido como, diferença de dois quadrados


$-\mathsf{\Big[\dfrac{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{(zx^2+zy^2+2zxy)\cdot(x^2-y^2)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{(x+y)^3}{z\cdot(x^2+y^2+2xy)\cdot(x-y)\cdot(x+y)}\Big]}$

Colocando o z em evidência no denominador, apareceu o produto notável trinômio do quadrado perfeito, que é o mesmo que (x + y)²

$-\mathsf{\Big[\dfrac{(x+y)^3}{z\cdot(x^2+y^2+2xy)\cdot(x-y)\cdot(x+y)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{(x+y)^3}{z\cdot(x+y)^2\cdot(x-y)\cdot(x+y)}\Big]}$

Perceba que no denominador o fator (x + y) aparece duas vezes, sendo um deles estando ao quadrado. Se multiplicarmos ele passará a estar sendo elevado ao cubo

$-\mathsf{\Big[\dfrac{(x+y)^3}{z\cdot(x+y)^2\cdot(x-y)\cdot(x+y)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{(x+y)^3}{z\cdot(x+y)^3\cdot(x-y)}\Big]}$

Note agora que o fator (x + y)³ aparece duas vezes, uma no numerador e outra no denominador. Vamos cancela-los

$-\mathsf{\Big[\dfrac{(x+y)^3}{z\cdot(x+y)^3\cdot(x-y)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{1}{z\cdot(x-y)}\Big]}$

Como não tem mais o que simplificar, vamos substituir os valores x, y e z na equação

$\mathsf{x=2009}\\\mathsf{y=2010}\\\mathsf{z=2011}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{1}{z\cdot(x-y)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{1}{2011\cdot(2009-2010)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{1}{2011\cdot(-1)}\Big]}\\\\\\-\mathsf{\Big[\dfrac{1}{(-2011)}\Big]}\\\\\\\mathsf{=\dfrac{1}{2011}}$


Resposta (c)


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