Question

4. O valor de K para que o sistema não seja possível e determinado é:

x + 2y + (k - 1)z = 2
2x + 2y - z = 1
2y - z = 7

a) -4
b) -1
c) 0
d) 1
e) 4 ​

Answer 1

O valor de k para que este sistema linear não seja possível e determinado é: c) 0.

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Obs.: SPD = sistema possível e determinado, é quando este sistema possui uma única solução; SPI = sistema possível e indeterminado, é quando este sistema possui infinitas soluções; SI = sistema impossível, é quando este sistema não possui solução.

$\begin{cases}\tt x+2y+(k-1)z=2\\\tt2x+2y-z=1\\\tt0x+2y-z=7\end{cases}$

Para este sistema não ser possível e determinado ele precisa ser possível e indeterminado OU impossível. Por isso, pelo Teorema de Cramer, devemos ter o determinante formado por seus coeficientes igual a zero:

$\tt\left|\begin{array}{ccc}\tt1&\tt2&\tt k-1\\\tt2&\tt2&\tt\!\!\!-\,1\\\tt0&\tt2&\tt\!\!\!-\,1\end{array}\right|=0$

Expandindo em cofatores:

$\tt1\left|\begin{array}{cc}\tt2&\tt\!\!\!-\,1\\\tt2&\tt\!\!\!-\,1\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}\tt2&\tt k-1\\\tt2&\tt\!\!\!-\,1\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{cc}\tt2&\tt k-1\\\tt2&\tt\!\!\!-\,1\end{array}\right|=0$

$\tt\left|\begin{array}{cc}\tt2&\tt\!\!\!-\,1\\\tt2&\tt\!\!\!-\,1\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}\tt4&\tt2k-2\\\tt4&\tt\!\!\!-\,2\end{array}\right|+0=0$

$\tt\left|\begin{array}{cc}\tt2-4&\tt\!-\,1-2k+2\\\tt2-4&\tt\!-\,1+2\end{array}\right|=0$

$\tt\left|\begin{array}{cc}\tt\!\!-\,2&\tt1-2k\\\tt\!\!-\,2&\tt1\end{array}\right|=0$

$\tt(-\,2)(1)-(-2)(1-2k)=0$

$\tt-\,2+2(1-2k)=0$

$\tt-\,2+2-4k=0$

$\tt0-4k=0$

$\tt k=\dfrac{0}{4}$

$\tt k=0$

Dessarte, o sistema em questão não será possível e determinado assumindo-se k = 0, ao passo que ∀ k ∈ ℝ \ {0} (para qualquer k real ≠ 0, que é a negação de k = 0) ele será possível e determinado. À vista disso, o item c) é o gabarito.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.