Question

4. O ângulo entre os vetores X e Y ´e π/3, e suas normas são 1 e 2, respectivamente. Se V = X + Y e W = X − Y , calcule kV × Wk.​

Answer 1

Resposta:

Solução em anexo

Explicação passo a passo:

Answer 2

faça x=(a,b,c)  e y=(d,e,f)

cos60=x.y/(2*1)

1/2=x.y/2

x.y=1

produto escalar

(a,b,c).(d,e,f)=1

ad+be+cf=1

(ad+be+cf)²=1²

a²d²+b²e²+c²f² +2*(adbe+adcf+becf)=1

-2*(adbe+adcf+becf) =  a²d²+b²e²+c²f² -1  eq. (i)

V=(a+d,b+e,c+f)

W=(a-d,b-e,c-f)

faça o produto vetorial , encontrará um vetor

V x W  é o determinante, vou usar Sarrus

x           y           z      x            y

a+d     b+e      c+f    a+d       b+e

a-d      b-e        c-f    a-d       b-e

=x*(b+e)*(c-f) +y*(c+f)*(a-d)+z*(a+d)*(b-e) -y*(a+d)*(c-f)-x*(c+f)(b-e)-z*(b+e)*(a-d)

= 2 c e x - 2 b f x - 2 c d y + 2 a f y + 2 b d z - 2 a e z

=2*(ce  - bf)* x  + 2*(af - cd)*y + 2*(bd  - ae )z

V x W  = [ 2*(ce  - bf) ; 2*(af - cd) ;2*(bd  - ae ))

encontrando  o módulo deste vetor | V x W |

| V x W |  = √[4*((ce  - bf)²+(af - cd)² +(bd  - ae )²)]

=(ce  - bf)²+(af - cd)² +(bd  - ae )²

=a^2 e^2 + a^2 f^2 - 2 a b d e - 2 a c d f + b^2 d^2 + b^2 f^2 - 2 b c e f + c^2 d^2 + c^2 e^2

=a^2 e^2 + a^2 f^2  + b^2 d^2 + b^2 f^2  + c^2 d^2 + c^2 e^2- 2*( b c e f+ a b d e + a c d f)

usando   eq. (i)

=a²e² + a²f²  + b²d² + b²f²  + c²d² + c²e² + a²d²+b²e²+c²f² -1  

=a²e² + a²f²  + b²d² + b²f²  + c²d² + c²e² + a²d²+b²e²+c²f² - 1

=(a²+ b²+ c²) (d² + e² + f²) - 1

Não esquecendo que x=(a,b,c)  e y=(d,e,f)

|x|² = a²+ b²+ c²

|y|²= d² + e² + f²

ficamos com |x|²*|y|² -1  , como |x|=1  e |y|=2

| V x W | =√4*(|x|²*|y|² -1)

| V x W | =2√(|x|²*|y|² -1)

| V x W | =2√(1*2² -1)  =2√3 é a resposta