4) Num triângulo equilátero de lado 10 cm, inscreve-se um quadrado, conforme a seguinte figura. A área hachurada, em cm2, vale...
Soluções para a tarefa
Boa noite Daniela!!
Segue uma imagem em anexo para melhor entendimento.
Se o triângulo é equilátero, quer dizer que todos os lados dele são iguais, como podemos ver na Figura 1. Chamaremos o lado do quadrado inscrito de y e as partes restantes de x, como mostra a figura. Temos a partir daí que:
x + y + x = 10 → 2x + y = 10
Traçando a altura do triângulo, representada por h, dividimos ele em 2 triângulos retângulos iguais, cuja representação consta na figura 3. Para achar o valor de h, podemos fazer teorema de Pitágoras:
10² = 5² + h²
100 = 25 + h²
h² = 100 - 25
h² = 75
h = √75
h = √25.3
h = √25.√3
h = 5√3 → altura do triângulo
Podemos ver que os triângulos retângulos formados são semelhantes, como mostra a figura 4. Fazendo a semelhança dos triângulo fica:
5√3x = 5y
Substituindo o valor de x na primeira equação fica:
Sendo o MMC = √3, fica:
2y + √3y = 10√3
y (2 + √3) = 10√3
O valor da área de um quadrado é o seu lado ao quadrado. Logo, a área do quadrado inscrito é:
A = y²
A =
A área do triângulo equilátero é:
A = 25√3
A área hachurada é a diferença entre a área do triângulo e a área do quadrado inscrito, sendo assim:
Letra A