4 — No plano cartesiano, a seguir, está representada uma parábola, que é o gráfico de uma função
quadrática. Encontre a expressão algébrica que define essa função, usando a forma fatorada
y = a (x — x1
) (x — x2
).
Soluções para a tarefa
Sabendo que y = f(x) = a(x - x1)(x - x2) em que x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau e que esses valores correspondem aos pontos onde a parábola corta o eixo x. Temos:
a) x1 = -3, x2 = 1, c = 3
f(x) = a(x + 3)(x - 1)
Devemos, agora, escolhermos um par ordenado da parábola para determinarmos o "a". Um par indicado é o vértice da parábola, (-1,4). Sendo assim:
f(-1) = 4 = a(- 1 + 3)(- 1 - 1) = a(2).(-2)
4 = -4a -> a = -1
Substituindo no f(x):
f(x) = (-1)(x + 3)(x - 1) = (-1)(x² - x + 3x - 3) = (-1)(x² + 2x -3)
f(x) = -x² - 2x + 3
b) x1 = 0, x2 = 6, c = 0
f(x) = a(x - 0)(x - 6)
Podemos novamente escolhermos um par ordenado da parábola, por exemplo, o vértice (3,-9). Logo,
-9 = a(3 - 0)(3 - 6)
-9 = a(3).(-3) -> -9 = -9a -> a = 1
Substituindo o "a" em f(x):
f(x) = (1)(x - 0)(x - 6) = x² - 6x
f(x) = x² - 6x
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Sabendo que y = f(x) = a(x - x1)(x - x2) em que x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau e que esses valores correspondem aos pontos onde a parábola corta o eixo x. Temos:
a) x1 = -3, x2 = 1, c = 3
f(x) = a(x + 3)(x - 1)
Devemos, agora, escolhermos um par ordenado da parábola para determinarmos o "a". Um par indicado é o vértice da parábola, (-1,4). Sendo assim:
f(-1) = 4 = a(- 1 + 3)(- 1 - 1) = a(2).(-2)
4 = -4a -> a = -1
Substituindo no f(x):
f(x) = (-1)(x + 3)(x - 1) = (-1)(x² - x + 3x - 3) = (-1)(x² + 2x -3)
f(x) = -x² - 2x + 3
b) x1 = 0, x2 = 6, c = 0
f(x) = a(x - 0)(x - 6)
Podemos novamente escolhermos um par ordenado da parábola, por exemplo, o vértice (3,-9). Logo,
-9 = a(3 - 0)(3 - 6)
-9 = a(3).(-3) -> -9 = -9a -> a = 1
Substituindo o "a" em f(x):
f(x) = (1)(x - 0)(x - 6) = x² - 6x
f(x) = x² - 6x