Question

4- Na figura abaixo, ABCD é um quadrado com vértices A e nos centros de duas circunferências congruentes e tangentes
de raio medindo 5 cm. Calcule a área da região hachurada.​

Answer 1

✅ Calculando área:

Se na figura temos um quadrado de vértices ABCD e duas circunferências congruentes e tangentes externas entre si, de centros nos vértices A e C, então a área hachurada "Ah" será a diferença entre a área do quadrado "Aq" e a metade da área de um dos círculos "Ac", ou seja:

1ª               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{h} = A_{q} - \frac{A_{c} }{2} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= L^{2} - \frac{\pi.r^{2} }{2} \end{gathered} }$

Então:

2ª               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{h} = L^{2} - \frac{\pi.r^{2} }{2} \end{gathered} }$

Se:

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}r = 5\:cm \end{gathered}$

Então a diagonal "d" do quadrado é o dobro do raio "r", ou seja:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}d = 2.r = 2.5 = 10\ cm \end{gathered}$

Dividindo o quadrado em dois triângulos retângulos e aplicando o teorema de Pitágoras em um deles, temos:

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}d^{2} = L^{2} + L^{2} \end{gathered}$

3ª                   $\large\displaystyle\begin{gathered}d^{2} = 2L^{2} \end{gathered}$

Como precisamos do valor de "L", então devemos isolar "L" no primeiro membro, da 3ª equação. Então:

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}2L^{2} = d^{2} \end{gathered}$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}L^{2} = \frac{d^{2} }{2} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}L = \sqrt{\frac{d^{2} }{2} } \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}L = \frac{\sqrt{d^{2} } }{\sqrt{2} } \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}L = \frac{d}{\sqrt{2} } \end{gathered} }$

Racionalizando o denominador, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}L = \frac{d}{\sqrt{2} } = \frac{d}{\sqrt{2} }.\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{d\sqrt{2} }{(\sqrt{2} )^{2} } = \frac{d\sqrt{2} }{2} \end{gathered} }$

Então chegamos à:

                           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}L = \frac{d\sqrt{2} }{2} \end{gathered} }$

Substituindo o valor de "L" na 2ª equação, temos:

4ª              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{h} = \Big(\frac{d\sqrt{2} }{2}\Big)^{2} - \frac{\pi .r^{2} }{2} \end{gathered} }$

Simplificando a 4ª equação, temos:

                $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{h} = \frac{(d\sqrt{2} )^{2} }{2^{2} } - \frac{\pi.r^{2} }{2} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{d^{2}.(\sqrt{2} )^{2} }{4} - \frac{\pi.r^{2} }{2} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{2d^{2} }{4} - \frac{\pi .r^{2} }{2} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{2d^{2} - 2\pi r^{2} }{4} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{2(d^{2} - \pi r^{2} )}{4} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{d^{2} - \pi r^{2} }{2} \end{gathered} }$

Chegamos à seguinte equação:

5ª                $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{h} = \frac{d^{2} - \pi r^{2} }{2} \end{gathered} }$

                                       

Se:

                           $\large\displaystyle\begin{gathered}\pi = 3,14 \end{gathered}$

Substituindo os valores de "d", "r" e "pi" na 5ª equação, podemos calcular o valor da área hachurada. Então:

                $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{h} = \frac{10^{2} -(3,14).5^{2} }{2} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{100 - 78,5}{2} \end{gathered}$

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{21,5}{2} \end{gathered}$

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}= 10,75 \end{gathered}$

✅ Portanto, a área procurada é:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}A_{h} = 10,75\ cm^{2} \end{gathered}$

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