Question

4) Escrever na forma trigonométrica o complexo z=-1 + i.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{z=\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para escrevemos este número complexo em sua forma trigonométrica, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

A forma trigonométrica de um número complexo é: $z=\rho\cdot (\cos\theta+i\sin\theta)$, tal que $\rho$ é o módulo deste número e $\theta$ é seu argumento.

Dado um número complexo da forma $z=a+bi$, seu módulo é calculado pela fórmula: $\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ e seu argumento é calculado pela fórmula: $\theta=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

Seja o número complexo $z=-1+i$. Podemos ver que $a=-1$ e $b=1$.

Seu módulo será: $\rho=\sqrt{(-1)^2+1^2}$

Calculando as potências, teremos

$\rho=\sqrt{1+1}\\\\\\ \rho=\sqrt{2}$

Seu argumento será: $\theta=\arctan\left(\dfrac{1}{-1}\right)$

Calcule a fração e o valor da função

$\theta=\arctan(-1)\\\\\\\ \theta=-\dfrac{\pi}{4}$

Visto que este número pertence ao segundo quadrante, somamos $\pi$ a ele:

$\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$

Então, a forma trigonométrica deste número complexo será:

$z=\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$

Esta é a forma trigonométrica deste número.