Question

4. Em um certo experimento, o número de bactérias presente em uma cultura após t minutos foi Q(t) = 2000e^0,05t. Qual foi o número médio de bactérias presentes numa cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento?

Answer 1

Calcular o valor médio da função $Q(t)$ que fornece o número de bactérias, com $0\le t\le 5:$
$\overline{Q}_{t_1\to t_2}=\dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} Q(t)\,dt\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=\dfrac{1}{5-0}\int_0^5 200e^{0,05t}\,dt\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=\dfrac{1}{5}\int_0^5 200\cdot \dfrac{0,05}{0,05}\,e^{0,05t}\,dt\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=\dfrac{1}{5}\int_0^5 \dfrac{200}{0,05}\cdot 0,05\,e^{0,05t}\,dt\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=\dfrac{1}{5}\int_0^5 4\,000\cdot 0,05\,e^{0,05t}\,dt\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=\dfrac{4\,000}{5}\int_0^5 e^{0,05t}\cdot 0,05\,dt\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=800\int_0^5 e^{0,05t}\cdot 0,05\,dt$

$\overline{Q}_{0\to 5}=800\displaystyle\int_0^{0,25} e^{u}\,du~~~~~~(u=0,05t)\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=800\cdot e^u\Big|_0^{0,25}\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=800\cdot (e^{0,25}-e^0)\\\\\\ \overline{Q}_{0\to 5}=800\cdot (e^{0,25}-1)\approx \boxed{\begin{array}{c} 227\text{~bact\'erias} \end{array}}$