Question

4)Discuta,em função do parâmetro real m,o grau do polinômio p(x)=(m²-16)x^8+(m+4)x^5-
-x^4+3x-1.

5)é possível que o grau do polinômio p(x)=(m²-4)x^5+(m+2)x^4-3x-1 seja:
a)5?
b)4?
c)3?
em caso definitivo,de,para cada item,as condições em que isso ocorre.




pfvvvvv me ajudem
.......n sei como resolver isso

Answer 1

4)

P(X) = (m² - 16)X⁸ + (m + 4)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

O grau do polinômio é dado pelo exponte de maior valor de uma variável......

Neste nosso caso P(X) será do 8º grau enquanto (m² - 16) for diferente de zero, pois se m² - 16 = 0, teremos - a principio - um P(X) do 5º grau, pois

(m² - 16)X⁸ com (m² - 16)=0 resulta em 0.X⁸

Entao, para que tenhamos um P(X) do 8º grau

(atuamos no caso critico que é no m da variavel de maior grau)

m² - 16 ≠ 0

m² ≠ 16

m ≠ √16

m ≠ ±4

Para qualquer valor de m que nao seja -4 ou +4, teremos um P(X) do 8º grau.

SE m = -4, P(X) será:

P(X) = (m² - 16)X⁸ + (m + 4)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = ((-4)² - 16)X⁸ + (-4 + 4)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = (16 - 16)X⁸ + (0)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = 0.X⁸ + 0.X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = - X⁴ + 3X - 1    (polinomio do 4º grau)

SE m = +4, P(X) será:

P(X) = (m² - 16)X⁸ + (m + 4)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = (4² - 16)X⁸ + (4 + 4)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = (16 - 16)X⁸ + (8)X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = 0.X⁸ + 8X⁵ - X⁴ + 3X - 1

P(X) = 8X⁵ - X⁴ + 3X - 1     (polinomio do 5º grau)

5)

P(X) = (m² - 4)X⁵ + (m + 2)X⁴ + 3X - 1

a)

para que P(X) seja do 5º grau,  (m² - 4) NAO PODE ser zero, logo

m² - 4 ≠ 0

m² ≠ 4

m ≠ √4

m ≠ ±2

Se m ≠ ±2, entao teremos P(X) do 5º grau.

b)

Temos aqui 2 condiçoes para serem satisfeitas ao mesmo tempo. Para que P(X) seja do 4º grau,  (m² - 4) TEM QUE SER zero. Alem disso (m + 2) NAO PODE ser zero (para nao eliminar o X⁴.

i → m² - 4 = 0 ⇒ m = ±2

ii → m + 2 ≠ 0 ⇒ m ≠ - 2

Sendo assim temos as 2 condicoes:

i → (m² - 4) TEM QUE SER 0 ⇒ m = ±2

ii → (m + 2) NAO PODE ser zero ⇒ m ≠ - 2

Quem atende essas 2 condiçoes seria m = + 2

SE m = +2, teremos um P(X) do 4º grau

c)

P(X) = (m² - 4)X⁵ + (m + 2)X⁴ + 3X - 1

Neste caso não há valor de m que resulte num P(X) do 3º grau, pois este polinimio nao tem a variavel X elevado a 3. Se eliminarmos X⁵ e X⁴ nao teríamos X³, entao nao há valor de m que satisfaça essa condição. Este Polinimo é incompleto (falta aX³ bem como bX²)