Question

4. Determine os valores mínimo e máximo da função
h(x) = 7sen2(x) + 11 cos2(x), com x ∈ R

Answer 1

OBS.: Está escrito "sin" ao invés de "sen" porque o sistema LaTeX, usado para escrever as equações, usa a notação internacional.

Explicação passo a passo:

$h(x)=7 \sin^2{(x)}+11\cos^2{(x)}\\\\ h(x)=7\sin^2{(x)}+7\cos^2{(x)}+4\cos^2{(x)}\\\\ h(x)=7[\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)]+4\cos^2{(x)}$

Sabemos que $\sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1$ , para qualquer $x$. Logo,

$h(x)=7\cdot 1+4\cos^2{(x)}\\\\ h(x)=7+4\cos^2{(x)}$

A função $\cos{(x)^}$ está restrita entre $-1$ e $1$. Portanto, o valor máximo que $\cos^2{(x)}$ pode alcançar é $1$. Logo, o valor máximo de $h(x)$ (que chamarei de $h_{max}$) é:

$h_{max}=7+4\cdot 1=7+4=11$

O valor minímo de $\cos^2{(x)}$ é $0$, pois o quadrado de um número nunca é negativo. Logo, temos

$h_{min}=7+4\cdot 0=7+0=7$

Logo, a função $h(x)$ está restrita ao intervalo $[7,11]$ .